Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2011 D №11
$\cos\alpha=\dfrac14$ бол $\big(\sin\alpha;\sin\big(\alpha-\frac{\pi}{4}\big)\big)$ завсрыг ол.
A. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{4};\dfrac{\sqrt2(\sqrt{15}-1)}{8}\bigg)$
B. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{2};\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}\bigg)$
C. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{8};\dfrac{\sqrt2(\sqrt{15}+1)}{4}\bigg)$
D. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{16};\dfrac{\sqrt3(\sqrt{6}-1)}{4}\bigg)$
E. $1$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 43.82%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Хэдийгээр $\cos\alpha=\dfrac14$ үед $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\bigg(\dfrac{1}{4}\bigg)^2}=\pm\sqrt{\dfrac{15}{16}}=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ боловч $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ гээд бодлогын өгүүлбэрт (хариунд) тааруулан бодох нь энэ тохиолдолд зөв юм.
Цааш нь $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ томьёо ашиглан бод.
Цааш нь $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ томьёо ашиглан бод.
Бодолт: Заавар ёсоор $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ гэж үзсэн тул тохирох хариу нь А байх нь ойлгомжтой.
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ ашиглан бодвол \begin{align*} \sin\bigg(\alpha-\frac{\pi}{4}\bigg)&=\sin\alpha\cdot\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\alpha\cdot\sin\dfrac{\pi}{4}\\ &=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac14\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2(\sqrt{15}-1)}{8} \end{align*}
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ ашиглан бодвол \begin{align*} \sin\bigg(\alpha-\frac{\pi}{4}\bigg)&=\sin\alpha\cdot\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\alpha\cdot\sin\dfrac{\pi}{4}\\ &=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac14\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2(\sqrt{15}-1)}{8} \end{align*}