Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2011 D №16
$\sqrt[3]{\sqrt5-2}-\sqrt[3]{2+\sqrt5}$ тоотой тэнцүү тоо аль нь вэ?
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $2$
E. $3$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 38.33%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Өгөгдсөн тоо эерэг сөрөг тооны аль нь вэ?
Бодолт: $\sqrt[3]{\sqrt5-2}<\sqrt[3]{2+\sqrt5}$ ойлгомжтой иймд олох тоо маань сөрөг тоо байна. Цорын ганц сөрөг хариу нь $-1$ тул зөв хариулт нь A.
$A=\sqrt[3]{\sqrt5-2}-\sqrt[3]{\sqrt5+2}$ гэвэл $$(a-b)^3=a^3-b^2-3ab(a-b)$$ ба $\sqrt[3]{\sqrt5-2}\cdot\sqrt[3]{\sqrt5+2}=\sqrt[3]{(\sqrt5)^2-2^2}=1$ болохыг ашиглавал $$A^3=(\sqrt5-2)-(\sqrt5+2)-3\cdot A\Rightarrow A^3+3A+4=(A+1)(A^2-A+4)=0$$ болно. $A^2-A+4=\Big(A-\frac12\Big)^2+3\frac34>0$ тул $A+1=0\Rightarrow A=-1$ гэж бодож болно.
$A=\sqrt[3]{\sqrt5-2}-\sqrt[3]{\sqrt5+2}$ гэвэл $$(a-b)^3=a^3-b^2-3ab(a-b)$$ ба $\sqrt[3]{\sqrt5-2}\cdot\sqrt[3]{\sqrt5+2}=\sqrt[3]{(\sqrt5)^2-2^2}=1$ болохыг ашиглавал $$A^3=(\sqrt5-2)-(\sqrt5+2)-3\cdot A\Rightarrow A^3+3A+4=(A+1)(A^2-A+4)=0$$ болно. $A^2-A+4=\Big(A-\frac12\Big)^2+3\frac34>0$ тул $A+1=0\Rightarrow A=-1$ гэж бодож болно.