Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$y=\dfrac{x}{x-1}$ функц өгөгдөв.

$y=\dfrac{x}{x-1}$ функцийн $x_0=2$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бичвэл $y=-\fbox{a}x+\fbox{b}$
$y=\dfrac{x}{x-1}$ , $x=2$ , $x=4$ ба $y=0$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\fbox{c}+\ln\fbox{d}$
$y=2x+5$ шулуунд перпендикуляр ба $(1;1)$ цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл нь $\fbox{e}x+\fbox{f}y-3=0$ .
$y=\dfrac{x}{x-1}$ функц ба $x+5y-12=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн хоорондох зай $\dfrac45\sqrt{\fbox{gh}}$

ab = 14

cd = 23

ef = 12

gh = 26

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 17.16%

Заавар:

$y=f(x)$ функцийн графикийн $(x_0,f(x_0))$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл: $y=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
$[a,b]$ мужийн дурын $x$ цэг дээр $g(x)\le f(x)$ бол $x=a$ , $x=b$ , $y=f(x)$ , $y=g(x)$ муруйнуудаар үүсэх дүрсийн талбай нь $S=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x$ байна.
Харилцан перпендикуляр шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүдийн үржвэр $-1$ байдаг.
$y=f(x)$ , $y=g(x)$ муруйнуудын огтолцлын цэгийн координат нь $\bigg\{\begin{array}{c} y=f(x)\\ y=g(x)\end{array}$ систем тэгшитгэлийн шийд байна. Иймд $f(x)=g(x)$ тэгшитгэлийг бодож огтолцлын цэгийн ординатуудыг олно.

Бодолт:

$y=\dfrac{x}{x-1}$ функцийн уламжлал $y^\prime=\dfrac{x^\prime (x-1)-x(x-1)^\prime}{(x-1)^2}=-\dfrac{1}{(x-1)^2}$ $y^\prime(2)=-\dfrac{1}{(2-1)^2}=-1$ , $y(2)=\dfrac{2}{2-1}=2$ тул бидний олох шүргэгчийн тэгшитгэл $y=-(x-2)+2=-x+4$
$[2;4]$ мужид $0\le \dfrac{x}{x-1}$ тул бидний олох талбай нь $\begin{align*} S&=\int_2^4\dfrac{x}{x-1}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_2^4\left[1+\dfrac{1}{x-1}\right]\,\mathrm{d}x\\ &=\left[x+\ln(x-1)\right]\Big|_2^4\\ &=4+\ln(4-1)-2-\ln(2-1)\\ &=2+\ln3 \end{align*}$
$y=2x+5$ шулуунд перпендикуляр шулууны өнцгийн коэффициент нь $k=-\dfrac{1}{2}$ тул $y=-\dfrac12x+b$ хэлбэртэй байна. Энэ шулуун дээр $(1;1)$ цэг орших бол $1=-\dfrac12\cdot 1+b\Rightarrow b=\dfrac32$ иймд бидний олон шулууны тэгшитгэл нь $y=-\dfrac12x+\dfrac32$ буюу $x+2y+3=0$ байна.
$y=\dfrac{x}{x-1}$ функц ба $x+5y-12=0$ шулууны огтлолцлын цэгүүдийн нь $\left\{\begin{array}{c} y=\dfrac{x}{x-1}\\ x+5y-12=0 \end{array} \right.$

системийн шийд байна. 2 дахь тэгшитгэлээс

$x=12-5y$ тул

$y=\dfrac{12-5y}{11-5y}\Rightarrow 5y^2-16y+12=0$

$y=\dfrac{16\pm\sqrt{16^2-4\cdot 5\cdot 12}}{2\cdot 5}=\dfrac{16\pm4}{10}$ тул

$y_1=2$ ,

$y_2=\dfrac{6}{5}$ тул

$x_1=12-5\cdot2=2$ ,

$x_2=12-5\cdot\dfrac65=6$ байна.

$(2;2)$ ,

$\left(6;\dfrac65\right)$ цэгүүдийн хоорондох зай

$d=\sqrt{(6-2)^2+\left(\dfrac65-2\right)^2}=\dfrac45\sqrt{26}$