Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\triangle PMQ$-д косинусын теорем бичиж $MQ$ медианы уртыг олоод $\triangle PMQ$ гурвалжны талбайг олохдоо $S=\dfrac12ab\sin\gamma$ томьёог ашигла.

Бодолт: $\triangle PMQ$-д косинусын теорем бичвэл $$PQ^2=PM^2+MQ^2-2\cdot PM\cdot MQ\cdot\cos45^\circ$$ $$4^2=(2\sqrt3)^2+x^2-2\cdot2\sqrt3\cdot x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x^2-2\sqrt6 x-4=0$$ тул $x_{1,2}=\dfrac{2\sqrt6\pm\sqrt{(2\sqrt6)^2-4\cdot 1\cdot(-4)}}{2}=\sqrt6\pm\sqrt{10}$ болно. Мэдээж $x\neq\sqrt6-\sqrt{10}$ байна. Учир нь $MQ=x$ нь хэрчмийн уртыг тэмдэглэж буй тоо тул эерэг байх ёстой. Иймд $MQ=\sqrt6+\sqrt{10}$ болно. Эндээс $\triangle PMQ$-ийн талбайг 2 тал хоорондох өнцгөөр нь олбол $$S=\dfrac12\cdot 2\sqrt3\cdot(\sqrt6+\sqrt{10})\cdot\sin45^\circ=6+2\sqrt{15}$$ байна (үйлдлийг гүйцэтгэлгүйгээр шууд хариунаас тохирох сонголтыг хийж болно).