Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2011 D №14
$\cos\big(\frac{\pi}{4}-\arcsin\big(\frac12\big)\big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
A. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{8}$
B. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
C. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{8}$
E. $0$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 44.44%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\arcsin x$ нь синус нь $x$ тоотой тэнцүү байдаг $\big[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\big]$ завсрын өнцгийн радиан хэмжээ юм. Мэдээж энэ тохиолдолд $|x|\le 1$ байна.
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
байдаг.
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
байдаг.
Бодолт: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ тул $\arcsin\dfrac12=\dfrac{\pi}{6}$ байна.
\begin{align*}
\cos\Big(\frac{\pi}{4}-\arcsin\Big(\frac12\Big)\Big)&=\cos\Big(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\Big)=\cos\frac{\pi}{4}\cdot\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{\pi}{6}\\
&=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
\end{align*}