Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2011 D №19
$1+\dfrac12+\dfrac2{2^2}+\dots+\dfrac{10}{2^{10}}$
A. $\dfrac{2047}{2^{10}}$
B. $-\dfrac{2047}{2^{10}}$
C. $-\dfrac{2010}{2^{10}}$
D. $\dfrac{2010}{2^{10}}$
E. $\dfrac{765}{2^{8}}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 14.63%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: 11 тооны нийлбэрийг шууд бодоод олж болно.
$A_n=a_1+a_2+\cdots+a_n, A_0=0$ бол $a_n=A_n-A_{n-1}$ байна. Эндээс $$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n=$$ $$=(A_1-A_0)b_1+(A_2-A_1)b_2+\cdots+(A_n-A_{n-1})b_n=$$ $$=A_1(b_1-b_2)+A_2(b_2-b_3)+\cdots+A_{n-1}(b_{n-1}-b_n)+A_nb_n$$ болно. Үүнийг Абелийн хувиргалт гэдэг. Энэ хувиргалтыг $$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n$$ хэлбэрийн нийлбэр олоход өргөн ашигладаг.
$A_n=a_1+a_2+\cdots+a_n, A_0=0$ бол $a_n=A_n-A_{n-1}$ байна. Эндээс $$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n=$$ $$=(A_1-A_0)b_1+(A_2-A_1)b_2+\cdots+(A_n-A_{n-1})b_n=$$ $$=A_1(b_1-b_2)+A_2(b_2-b_3)+\cdots+A_{n-1}(b_{n-1}-b_n)+A_nb_n$$ болно. Үүнийг Абелийн хувиргалт гэдэг. Энэ хувиргалтыг $$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n$$ хэлбэрийн нийлбэр олоход өргөн ашигладаг.
Бодолт: $a_n=\dfrac{1}{2^{n}}$, $b_n=n$ гэвэл
$$S=1+a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_{10}b_{10}$$
нийлбэрийг олох бодлого болно.
$A_n=\dfrac12+\dots+\dfrac1{2^n}=1-\dfrac1{2^n}$ тул
$$S=1+\Big(1-\frac12\Big)(1-2)+\dots+\Big(1-\frac1{2^{9}}\Big)(9-10)+\Big(1-\frac1{2^{10}}\Big)\cdot 10$$
$$=1-9+10+\dfrac12+\dots+\dfrac1{2^9}-\dfrac{10}{2^{10}}=2+\Big(1-\dfrac1{2^9}\Big)-\dfrac{10}{2^{10}}$$
$$=3-\dfrac{12}{2^{10}}=3-\dfrac{3}{2^8}=\dfrac{3\cdot 2^8-3}{2^8}=\dfrac{765}{2^8}$$