Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$y=x^4$ ба $y=\sqrt[4]{x}$ муруйнууд $]0;+\infty]$ завсарт:

$A(\fbox{a};\fbox{b})$ цэгээр огтлолцоно.
$y=x^4$ муруйн $A$ цэгт татсан шүргэгч шулуун нь $y=\fbox{c}\cdot x-\fbox{d}$ тэгшитгэлтэй байна.
$y=\sqrt[4]{x}$ муруйн $A$ цэгт татсан шүргэгч шулуун нь $x-\fbox{e}\cdot y+\fbox{f}=0$ байна.
Эдгээр шулуунуудын хооронд $\alpha=\arctg\dfrac{\fbox{gh}}{8}$ хурц өнцөг үүснэ.

ab = 11

cd = 43

ef = 43

gh = 15

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 20.54%

Заавар: Графикийг зурж үз. Графикийн

$(x_0,f(x_0))$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь

$y=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ байна.

$y=k_1x+a_1$ ,

$y=k_2x+a_2$ шулуунуудын хоорондох өнцгийн тангес нь

$\tg\alpha=\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}$ байна.

Бодолт:

Графикаас огтлолцлын цэг нь

$A(1,1)$ болох нь харагдаж байна.

$f(x)=x^4$ ,

$g(x)=\sqrt[4]{x}$ гэвэл

$(x^\alpha)^\prime=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ тул

$f^\prime(x)=(x^4)^\prime=4\cdot x^{4-1}=4x^3$ ба

$g^\prime(x)=(\sqrt[4]{x})^\prime=(x^{\frac14})^\prime=\frac14\cdot x^{\frac14-1}=\frac{1}{4x^{3/4}}$ байна.

$f(x)$ функцийн

$(1,f(1))=(1,1)$ цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь

$y=f^\prime(1)(x-1)+1=4\cdot 1^3(x-1)+1=4x-3,$

$g(x)$ функцийн

$(1,g(1))=(1,1)$ цэг дээрх шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь

$y=g^\prime(1)(x-1)+1=\frac{1}{4\cdot 1^{\frac34}}(x-1)+1=\frac14x+\frac34$ буюу

$x-4y+3=0$ байна.

Шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүд нь

$4$ ба

$\frac34$ тул хоорондох өнцгийн тангес нь

$\tg\alpha=\dfrac{4-\frac14}{1+4\cdot\frac14}=\dfrac{15}{8}$ байна.