Монгол Бодлогын Сан

Заавар: (Дурын $x\in D$-ийн хувьд) $f(g(x))=x$, $g(f(x))=x$ нөхцлийг хангах $g(x)$ функцийг $f(x)$ функцийн ($D$ муж дээрх) урвуу функц гэнэ.

$y=f(x)$ функцийн урвууг олохдоо $x=f(y)$ илэрхийллээс $y$-г олдог.

Бодолт: $f(x)=\dfrac{x^2+4}{4x}\Rightarrow x=f(y)=\dfrac{y^2+4}{4y}\Rightarrow y^2-4xy+4=0$ болно. $y=2x\pm\sqrt{4x^2-4}=2x\pm2\sqrt{x^2-1}$ болно. Иймд $f^{-1}(x)=2x+2\sqrt{x^2-1}$ юмуу $f^{-1}(x)=2x-2\sqrt{x^2-1}$ байна.

$f(4)=\frac{4^2+4}{4\cdot 4}=\frac54$ тул $f^{-1}\big(\frac54\big)=4$ байх ёстой. $2\cdot\frac54+2\sqrt{\big(\frac54\big)^2-1}=\frac{5}{2}+2\cdot\frac34=4$ тул $f^{-1}(x)=2x+2\sqrt{x^2-1}$ нь зөв хариулт болно.

Жич: Энэ бодлогыг анхнаасаа $f^{-1}\big(\frac54\big)=4$ нөхцлийг ашиглан хариунаас нь бодож болно.