Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\sqrt2\pm\sqrt5\pm\sqrt{10}$ хэлбэрийн тоонуудаар хүртвэр ба хуваарийг нэгэн зэрэг үржүүл.

Бодолт: $\sqrt2+\sqrt5-\sqrt{10}$ тоогоор хүртвэр ба хуваарийг үржүүлбэл $$\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt5-\sqrt{10}}{(\sqrt2+\sqrt5+\sqrt{10})(\sqrt2+\sqrt5-\sqrt{10})}=$$ $$=\dfrac{\sqrt2+\sqrt5-\sqrt{10}}{(\sqrt2+\sqrt5)^2-(\sqrt{10})^2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt5-\sqrt{10}}{2\sqrt{10}-3}$$ Одоо хүртвэр ба хуваарийг $(2\sqrt{10}+3)$-аар үржүүлбэл $$=\dfrac{(\sqrt2+\sqrt5-\sqrt{10})(2\sqrt{10}+3)}{(2\sqrt{10}-3)(2\sqrt{10}+3)}=\dfrac{4\sqrt5+3\sqrt2+10\sqrt2+3\sqrt5-20-3\sqrt{10}}{40-9}=$$ $$=\dfrac{13\sqrt2+7\sqrt5-3\sqrt{10}-20}{31}$$