Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Үндсэн адилтгал ашиглан зэрэг бууруулж хялбарчил. Мөн $$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$$ $$\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)$$ $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$ болохыг ашиглаарай!

Бодолт: $$\begin{align*} \sin^3\alpha\cdot\sin3\alpha&+\cos^3\alpha\cdot\cos3\alpha=(1-\cos^2\alpha)\sin\alpha\cdot\sin3\alpha+(1-\sin^2\alpha)\cos\alpha\cdot\cos3\alpha\\ &=(\sin\alpha\cdot\sin3\alpha+\cos\alpha\cdot\cos3\alpha)-\sin\alpha\cos\alpha(\cos\alpha\cdot\sin3\alpha+\sin\alpha\cdot\cos3\alpha)\\ &=\cos2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha\cdot\sin4\alpha=\cos2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha\cdot2\sin2\alpha\cos2\alpha\\ &=\cos2\alpha-(2\sin\alpha\cos\alpha)\cdot\sin2\alpha\cos2\alpha=\cos2\alpha-\sin2\alpha\cdot\sin2\alpha\cos2\alpha\\ &=\cos2\alpha-\sin^22\alpha\cdot\cos2\alpha=\cos2\alpha-(1-\cos^22\alpha)\cos2\alpha=\cos^32\alpha \end{align*}$$ $\cos2\alpha=\dfrac{2}{3}$ тул $\cos^32\alpha=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}$ байна.