Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Конусын гол тэнхлэгийг дайрсан хөндлөн огтлолыг авч үз.

Магадлалыг олохдоо геометр магадлалын тодорхойлолт ашиглана. Манай тохиолдолд багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүнийг конусын эзлэхүүнд харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлогдоно.

Бодолт: Гол тэнхлэгийг дайрсан хөндлөн огтлол нь адил хажуут гурвалжин байх ба оройгоос багтсан тойргийн шүргэлтийн цэг хүртэлх зай нь 8 нэгж, сууриас багтсан тойргийн шүргэлтийн цэг хүртэлх зай нь 12 нэгж гурвалжин байна. Иймд хөндлөн огтлол нь суурийн талын урт нь 24, хоёр хажуу нь 20 нэгж урттай адил хажуут гурвалжин байна. $p=\dfrac{20+20+24}{2}=32$ тул Героны томьёо ёсоор талбай нь $$S=\sqrt{32(32-20)(32-20)(32-24)}=192$$ байна.

1. Гурвалжны оройгоос татсан өндөр нь конусын өндөр болох тул $h=\dfrac{2\cdot 192}{24}=16$ байна.
2. Багтсан бөмбөрцгийн радиус нь багтсан тойргийн радиус тул $$r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{192}{32}=6$$ байна.
3. Конусын суурийн радиус нь $R=12$ тул суурийн талбай нь $S_{\text{суурь}}=\pi R^2=144\pi$ байна. Иймд конусын эзлэхүүн $$V=\dfrac13 S_{\text{суурь}} h=\dfrac13\cdot 144\pi\cdot 16=768\pi$$
   
   Багтсан бөмбөрцгийн эзлэхүүн нь $\dfrac{4\pi r^3}{3}=\dfrac{4\cdot 6^3\pi}{3}=288\pi$ байна. Иймд конус дотроос санамсаргүйгээр сонгосон цэг бөмбөрцөг дотор байх магадлал нь $$\dfrac{288\pi}{768\pi}=\dfrac38$$ байна.