Монгол Бодлогын Сан

Заавар: 9 сурагчийг дурын аргаар хоёр хэсэгт хуваахад аль нэг хэсэг нь 5-аас цөөнгүй сурагчтай байна.

$n$ элементтэй олонлогийн $k$ элементтэй дэд олонлогийн тоо $C_n^k$, бүх дэд олонлогийн тоо $2^n$ байдаг.

Бодолт: 9 сурагчийг 2 хэсэгт хуваах боломжийн тоо нь 9 элементтэй олонлогийн бүх дэд олонлогийн тооны хагас буюу $\dfrac{2^9}{2}=2^8=256$ байна. Учир нь ямар ч $X$ дэд олонлогийг авахад түүний элемент болдог ба элемент болдоггүй элементүүд нь нэг хуваалт үүсгэх бөгөөд $X$ олонлог ба $\overline{X}$ олонлогууд нь нэг ижил хуваалтыг өгнө. Нөгөө талаас хуваалт бүрийн хувьд $X$ эсвэл $\overline{X}$ олонлогийн яг нэг нь 5-аас цөөнгүй элементтэй байна. Иймд бидний олох тоо нь $256$ байна.

Мөн $$C_9^5+C_9^6+C_9^7+C_9^8+C_9^9=256$$ гэж бодсон ч болно. Энд $C_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$ нь $n$ элементтэй олонлогийн элементүүдээс эрэмбэгүйгээр $k$ ширхэгийг нь сонгох боломжийн тоо буюу биномын коэффициент байна.