Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$f(x)=x^2-8x+17$ функц өгөгдөв.

$f(x)$ функцийн $x_0=5$ абсцисстэй $M$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}x-\fbox{b}$ (2 оноо).
$f(x)$ функцийн график, дээрх шүргэгч шулуун болон координатын тэнхлэгүүдээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $\dfrac{\fbox{cd}}{3}$ (2 оноо).
$f(x)$ функцийн графикийг $M$ цэгт шүргэх, төв нь $OX$ (абсцисс) тэнхлэг дээр орших тойргийн тэгшитгэл $(x-\fbox{e})^2+y^2=\fbox{fg}$ (3 оноо).

ab = 28

cd = 77

efg = 920

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 23.45%

Заавар:

$y=f^\prime(5)(x-5)+f(5)$.
Олох дүрсээ координатын хавтгай дээр дүрсэл. Олох дүрсийн талбай нь $\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x+\int_4^5(x-5)^2\,\mathrm{d}x$ байна.
Графикийг $M$ цэгт шүргэх тойрог нь шүргэгч шулууныг мөн адил $M$ цэгт шүргэнэ. Тойрог шулуун хоёр шүргэлцэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь тойргийн төвөөс шулуун хүртэлх зай нь радиустай тэнцүү.

Бодолт:

Шүргэгч шулууны өнцгийн коэфицент $f^\prime(5)=2\Rightarrow$ шүргэгч шулуун $y=2(x-5)+f(5)=2x-10+2=2x-8$ байна.
Зургаас олох талбай маань $$\int_0^4 x^2-8x+17\,\mathrm{d}x+\int_4^5(x^2-8x+17)-(2x-8)\,\mathrm{d}x=$$ $$=\Big(\dfrac{1}{3}x^3-4x^2+17x\Big|_0^4 \Big)+\Big(\dfrac{1}{3}x^3-5x^2+25x\Big|_4^5 \Big)=\dfrac{77}{3}.$$
Олох тойргийн төв $A(a,0)$ гэе. Графикийг $M$ цэгт шүргэх тойрог нь шүргэгч шулууныг мөн адил $M$ цэгт шүргэнэ. Тойрог шулуун хоёр шүргэлцэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь тойргийн төвөөс шулуун хүртэлх зай нь радиустай тэнцүү байдаг. $A$ цэгээс $y-2x+8=0$ шулуун хүрэх зай $$R=\dfrac{|0-2a+8|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{|8-2a|}{\sqrt5}$$ тул тойргийн тэгшигэл $(x-a)^2+y^2=\dfrac{(8-2a)^2}{5}$ болно. Энэ тойрог $M(5;2)$ цэгийг дайрах тул $$(5-a)^2+2^2=\dfrac{(8-2a)^2}{5}\Rightarrow$$ $$a^2-18a+81=(a-9)^2=0\Rightarrow a=9$$ болно. Иймд $(x-9)^2+y^2=20$ нь олох тэгшитгэл болно.