Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Ирмэг нь 6 нэгж $ABCDA_1B_1C_1D_1$ кубийн $AA_1$, $CC_1$ ирмэгүүд дээр харгалзан $M, N$ цэгүүдийг $|A_1M|=|C_1N|=2$ байхаар тэмдэглэв.

$DN$ ба $D_1C_1$ шулуунуудын огтлолцлын цэг $K$, $DM$ ба $D_1A_1$ шулуунуудын огтлолцлын цэг $L$ бол $|C_1K|=|A_1L|=\fbox{a}$ (1 оноо).
$KL$ шулуун $A_1B_1$ ба $B_1C_1$ ирмэгүүдийг харгалзан $E$ ба $F$ цэгүүдээр огтлох бол $|C_1F|=|A_1E|=\fbox{b}$ (1 оноо).
$V_{A_1MLE}=V_{C_1KNF}=\fbox{c}$ (2 оноо).
$V_{D_1DKL}=\fbox{de}$ (1 оноо).
$D, M, N$ цэгүүдийг дайрсан хавтгайгаар куб 2 олон талстад хуваагдах бөгөөд $D_1$ цэгийг агуулсан олон талстын эзлэхүүн $\fbox{fg}$ (3 оноо).

a = 3

b = 3

c = 3

de = 81

fg = 75

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 17.19%

Заавар:

Бодолт:

$\triangle KC_1N\sim \triangle KD_1D$ тул $KC_1:KD_1=C_1N:D_1D=2:6\Rightarrow KC_1=3$ ба ижлээр $A_1L=3$ байна.
$\triangle KD_1L$ нь адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжин тул $\triangle LA_1E$, $\triangle FC_1K$-ууд нь адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжнууд байна. Иймд $|C_1F|=|A_1E|=3$.
$LA_1E$ талсыг нь суурь гэж авбал $MA_1$ өндөр болох ба $V_{A_1MLE}=V_{C_1KNF}=\dfrac13 S_{LA_1E}\cdot |MA_1|=\dfrac13\dfrac{3\cdot3}{2}\cdot2=3$ .
$LD_1K$ талсыг нь суурь гэж авбал $DD_1$ өндөр болох ба $V_{D_1DKL}=\dfrac13 S_{LD_1K}\cdot |DD_1|=\dfrac13\dfrac{9\cdot9}{2}\cdot6=81$ .
Бидний олох эзлэхүүн $V_{D_1DKL}-V_{A_1MLE}-V_{C_1KNF}=81-3-3=75$ болно.