Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Орлуулгын арга
$y=\cos 3x-\cos x$ функцийн
- $y_{\max}=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\sqrt{3}$
- $y=-1.5$ тэгшитгэл бодвол $$x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{c}}+2\pi k,\, x=\pm\arccos\dfrac{\sqrt{\fbox{de}}-1}{4}+2\pi n$$ шийдүүд гарна.
ab = 89
cde = 313
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 23.39%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$\cos 3x=\cos^3x-3\cos x\sin^2 x=4\cos^3x-3\cos x$$
томьёог ашиглан функцээ хувиргаад $c=\cos x$ орлуулга хийж шинжил.
$ax^3+bx^2+cx+d=0$ бүхэл коэффициенттэй куб тэгшитгэлийн рационал шийдийг $\dfrac{1}{a}$ тооны бүхэл давталтууд дотроос хайх нь тохиромжтой байдаг.
$ax^3+bx^2+cx+d=0$ бүхэл коэффициенттэй куб тэгшитгэлийн рационал шийдийг $\dfrac{1}{a}$ тооны бүхэл давталтууд дотроос хайх нь тохиромжтой байдаг.
Бодолт: $y=4\cos^3x-4\cos x$ гээд $f(x)=4x^3-4x$ ба $c=\cos x$ гэвэл
$$y=f(c)=4c^3-4c,\, (-1\le c\le 1)$$
болно.
$$y_c^\prime=12c^2-4=0\Rightarrow c=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$
тул сэжигтэй цэгүүд нь $\pm1$, $\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ эдгээр цэгүүд дээр функцийн утгыг бодож үзвэл
$$f(1)=f(-1)=0$$
$$f\left(-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)=-\dfrac{8}{9}\sqrt3,\, f\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)=\dfrac{8}{9}\sqrt3$$
тул хамгийн их утга нь $\dfrac{8}{9}\sqrt3$ байна.
$4c^3-4c=-1.5$ тэгшитгэл бодъё. $$4\cdot 0.5^3-4\cdot 0.5=-1.5$$ тул $c_1=0.5$ гэсэн шийд байна. $$\dfrac{4c^3-4c+1.5}{c-0.5}=4c^2+2c-3$$ тул тэгшитгэлийн бусад шийдүүд нь $$c_{2,3}=\dfrac{-2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 4\cdot(-3)}}{2\cdot 4}=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{4}$$ $\dfrac{-1-\sqrt{13}}{4}<-1$ тул $$\cos x=\dfrac12\lor\cos x=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{4}$$ болно. Иймд тэгшитгэлийн шийдүүд $$x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\, x=\pm\arccos\dfrac{\sqrt{13}-1}{4}+2\pi n$$ байна.
$4c^3-4c=-1.5$ тэгшитгэл бодъё. $$4\cdot 0.5^3-4\cdot 0.5=-1.5$$ тул $c_1=0.5$ гэсэн шийд байна. $$\dfrac{4c^3-4c+1.5}{c-0.5}=4c^2+2c-3$$ тул тэгшитгэлийн бусад шийдүүд нь $$c_{2,3}=\dfrac{-2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 4\cdot(-3)}}{2\cdot 4}=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{4}$$ $\dfrac{-1-\sqrt{13}}{4}<-1$ тул $$\cos x=\dfrac12\lor\cos x=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{4}$$ болно. Иймд тэгшитгэлийн шийдүүд $$x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\, x=\pm\arccos\dfrac{\sqrt{13}-1}{4}+2\pi n$$ байна.