Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Куб тэгшитгэлийн шийдийн тоо
$\dfrac13x^3+\dfrac32x^2-18x+c=0$ тэгшитгэл 3 ялгаатай бодит шийдтэй байх $c$ параметрийн утгын муж аль нь вэ?
A. $]-80;31.5[$
B. $[-80;31.5]$
C. $[-3;6]$
D. $]-3;6[$
E. $\varnothing$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 58.23%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ куб функц байг. $f(x)=0$ тэгшитгэл гурван ялгаатай шийдтэй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $f^\prime(x)=0$ тэгшитгэл $\alpha<\beta$ гэсэн ялгаатай 2 бодит язгууртай бөгөөд $$f(\alpha)\cdot f(\beta)<0$$ нөхцөл биелэх юм.
Бодолт: $$f^\prime(x)=\Big(\dfrac13x^3+\dfrac32x^2-18x+c\Big)^\prime=x^2+3x-18=0$$
тэгшитгэлийг бодвол $\alpha=-6$, $\beta=3$ гэсэн шийдүүд гарна. $f(x)=0$ тэгшитгэл шийдтэй байхын тулд $f(-6)>0$, $f(3)<0$ байна. Иймд $$\dfrac13\cdot(-6)^3+\dfrac32\cdot(-6)^2-18\cdot(-6)+c>0\Leftrightarrow c>-80$$
ба
$$\dfrac13\cdot 3^3+\dfrac32\cdot 3^2-18\cdot 3+c<0\Leftrightarrow c<31.5$$
байна. Иймд $c\in ]-80;31.5[$ үед $f(x)=0$ тэгшитгэл гурван бодит шийдтэй байна.