Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Ялгаврын хязгаар
$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n-1})$ хязгаарыг бод.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 59.82%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ ба $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^\alpha}=0$, ($\alpha>0$) болохыг ашиглан бод.
Бодолт: \begin{align*}
\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n+1}&-\sqrt{n^2-n-1})=\\
&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n^2+3n+1)-(n^2-n-1)}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n-1}}\\
&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n-1}}\\
&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac3n+\frac1{n^2}}+\sqrt{1-\frac1n-\frac1{n^2}}}\\
&=\dfrac{4}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1-0-0}}=2
\end{align*}