Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$O(0,0)$ цэгт төвтэй 4 радиустай тойрог ба $(2-\sqrt3)x+y-4=0$ шулуун өгөгдөв.

Огтлолцлын цэгүүд нь $A(\fbox{a},\fbox{b})$, $B(\fbox{c},\fbox{d}\sqrt{\fbox{e}})$
$AB$ хэрчмийн урт: $2(\sqrt{\fbox{f}}-\sqrt{\fbox{g}})$
$\measuredangle AOB$ өнцөг: $\fbox{hi}^\circ$ байна.

ab = 04

cde = 223

fg = 62

hi = 30

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 42.88%

Заавар: Тойргийн тэгшитгэл нь $x^2+y^2=4^2$ байна.

Оглолцлын цэгүүдийн координат нь $$\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=4^2\\(2-\sqrt3)x+y-4=0\end{array}\right.$$ системийн шийд байна.
Хоёр цэгийн хоорондох зайн томьёог ашигла.
Косинусын тоерем ашиглан нумын төв өнцгийг ол.

Бодолт:

$\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=4^2\\(2-\sqrt3)x+y-4=0\end{array}\right.$ системийн II тэгшитгэлээс $y=4-(2-\sqrt3)x$ болно. Үүнийг I тэгшитгэлд орлуулбал $$x^2+(4-(2-\sqrt3)x)^2=4^2\Leftrightarrow x^2-2x=0$$ болно. Иймд $x_1=0$, $y_1=4$ ба $x_2=2$, $y_2=2\sqrt{3}$ шийдүүд гарна. Иймд $A(0,4)$ ба $B(2,2\sqrt3)$ байна.
Хоёр цэгийн хоорондох зайн томьёог ашиглавал: \begin{align*} AB&=\sqrt{(2-0)^2+(2\sqrt3-4)^2}\\ &=\sqrt{4+12-16\sqrt3+16}\\ &=2\sqrt{8-4\sqrt3}=2(\sqrt6-\sqrt2) \end{align*}
$\triangle AOB$-д косинусын теорем бичвэл: $$\cos\measuredangle AOB=\dfrac{4^2+4^2-(2\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{2\cdot 4\cdot 4}=\dfrac{\sqrt3}{2}$$ болно. $\measuredangle AOB<180^\circ$ тул $\measuredangle AOB=30^\circ$ байна.