Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Дарааллын ерөнхий гишүүний томьёо
$a_1,a_2,a_3,\dots$ дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр $S_n$ ба $$S_n=4n+\dfrac12-\dfrac12a_n$$ байсан бол
- $a_1=\fbox{a}$,
- $a_{n+1}=\dfrac{1}{\fbox{b}}(a_n+\fbox{c})$,
- $a_n=\fbox{d}-\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}^{n-1}}$ байна.
a = 3
bc = 38
def = 413
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 51.76%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
- $a_1=S_1$ болохыг ашигла.
- $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ болохыг ашигла.
- $\alpha=\fbox{d}$ гэвэл $b_n=a_n-\alpha$ дараалал геометр прогресс байна.
Бодолт:
- $a_1=S_1=4\cdot 1+\dfrac12-\dfrac12a_1\Rightarrow a_1=3$ байна.
- $$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=\left[4(n+1)+\dfrac12-\dfrac12a_{n+1}\right]-\left[4n+\dfrac12-\dfrac12a_{n}\right]=$$ $$=4-\dfrac12a_{n+1}+\dfrac12a_n\Rightarrow a_{n+1}=\dfrac13(a_n+8)$$
- $\alpha=\fbox{d}$ гэвэл $b_n=a_n-\alpha$ дараалал нь $b_n=-\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}^{n-1}}$ болох тул геометр прогресс байна. $a_n=b_n+\alpha$-г өмнө рекуррент томьёонд орлуулбал $$b_{n+1}+\alpha=\dfrac{1}{3}(b_n+\alpha+8)\Rightarrow \alpha=\dfrac{1}{3}(\alpha+8)\Rightarrow\alpha=4$$ байна. Энд бид $\fbox{f}=3$ гэж авлаа (үүнийг хязгаар ашиглан хялбархан харуулж болно). Олсон тоонуудаа буцааж орлуулбал $a_n=4-\dfrac{\fbox{e}}{3^{n-1}}$ байна. $a_1=3$ тул $3=4-\dfrac{\fbox{e}}{3^0}$ тул $\fbox{e}=1$ байна. Иймд ерөнхий гишүүний томьёо нь $$a_n=4-\dfrac{1}{3^{n-1}}$$ байна.