Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\ \sin3x=3\sin x-4\sin^3x$$

Бодолт: $$\begin{gather*} \sin2x\cdot\sin6x-\cos x\cdot\cos3x=2\sin x\cdot\cos x\cdot2\sin 3x\cdot\cos 3x-\cos x\cdot\cos3x\\ =\cos x\cdot\cos 3x\cdot(4\sin x\cdot\sin 3x-1)=0 \end{gather*}$$ $\cos x=0$ тэгшитгэл зөвхөн $x=\dfrac{\pi}{2}$ шийдтэй. Харин $\cos 3x=0$ тэгшитгэлийн хувьд $0\le x\le\pi\Leftrightarrow 0\le 3x\le3\pi$ ба эндээс $3x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{2}$ байх боломжтой тул $$x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{6}$$ байна. Эдгээрийн аль нь ч $4\sin x\cdot\sin 3x-1=0$ тэгшитгэлийн шийд болохгүй. $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$ тул $s=\sin x$ орлуулгаар $$4s(3s-4s^3)-1=0\Leftrightarrow 16s^4-12s^2+1=0$$ биквадрат тэгшитгэл гарна. Эндээс $$s^2=\dfrac{12\pm\sqrt{144-48}}{32}=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{8}$$ болно. $0\le x\le\pi$ тул $s\ge0$ гэдгийг тооцвол $s_{1,2}=\sqrt{\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{8}}$ буюу $\sin x=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{6}}{8}}$ эсвэл $\sin x=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{6}}{8}}$ байна. Эдгээр нь $[0,\pi]$ завсарт тус бүр 2 шийдтэй тул анхны тэгшитгэл маань нийт 7 шийдтэй байна.