Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тэгшитгэлийн шийдийн тоо
$\sin2x\cdot\sin6x=\cos x\cdot\cos3x$ тэгшитгэл $[0;\pi]$ хэрчим дээр хэдэн шийдтэй вэ?
A. 11
B. 6
C. 12
D. 7
E. 8
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 58.82%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\ \sin3x=3\sin x-4\sin^3x$$
Бодолт: \begin{gather*}
\sin2x\cdot\sin6x-\cos x\cdot\cos3x=2\sin x\cdot\cos x\cdot2\sin 3x\cdot\cos 3x-\cos x\cdot\cos3x\\
=\cos x\cdot\cos 3x\cdot(4\sin x\cdot\sin 3x-1)=0
\end{gather*}
$\cos x=0$ тэгшитгэл зөвхөн $x=\dfrac{\pi}{2}$ шийдтэй. Харин $\cos 3x=0$ тэгшитгэлийн хувьд $0\le x\le\pi\Leftrightarrow 0\le 3x\le3\pi$ ба эндээс $3x=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{2}$ байх боломжтой тул $$x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{6}$$
байна.
Эдгээрийн аль нь ч $4\sin x\cdot\sin 3x-1=0$ тэгшитгэлийн шийд болохгүй. $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$ тул $s=\sin x$ орлуулгаар
$$4s(3s-4s^3)-1=0\Leftrightarrow 16s^4-12s^2+1=0$$
биквадрат тэгшитгэл гарна. Эндээс
$$s^2=\dfrac{12\pm\sqrt{144-48}}{32}=\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{8}$$
болно. $0\le x\le\pi$ тул $s\ge0$ гэдгийг тооцвол $s_{1,2}=\sqrt{\dfrac{3\pm\sqrt{6}}{8}}$ буюу $\sin x=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{6}}{8}}$ эсвэл $\sin x=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{6}}{8}}$ байна. Эдгээр нь $[0,\pi]$ завсарт тус бүр 2 шийдтэй тул анхны тэгшитгэл маань нийт 7 шийдтэй байна.
Сорилго
2017-10-19
Тригонометрийн тэгшитгэл. Үржигдэхүүн болгон задлах арга
Тригонометрийн тэгшитгэл Нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томъёо хэрэглэх