Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\vec{x}$, $\vec{y}$ векторуудын хоорондох өнцөг $\alpha$ бол скаляр үржвэр нь $$\vec{x}\cdot\vec{z}=|\vec{x}|\cdot|\vec{z}|\cdot\cos\alpha$$ гэж тодорхойлогдох ба $$-|\vec{x}|\cdot|\vec{z}|\le \vec{x}\cdot\vec{z}\le |\vec{x}|\cdot|\vec{z}|$$ байна.

Мөн векторын скаляр үржвэр нь дараах чанартай: $$\vec{x}\cdot(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}$$ $$|\vec{x}|^2=\vec{x}\cdot\vec{x}$$

Бодолт: $\left\{\begin{array}{c}\vec{u}=\vec{p}+3\vec{q}\\ \vec{v}=3\vec{p}-\vec{q}\end{array}\right.$ гэвэл $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$ ба $\left\{\begin{array}{c}\vec{p}=\dfrac{1}{10}\vec{u}+\dfrac{3}{10}\vec{v}\\ \vec{q}=\dfrac{3}{10}\vec{u}-\dfrac{1}{10}\vec{v}\end{array}\right.$ болно.

Иймд $$\vec{p}+\vec{q}=\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{1}{5}\vec{v}$$ болох тул $$|\vec{p}+\vec{q}|^2=\left(\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{1}{5}\vec{v}\right)\cdot \left(\frac{2}{5}\vec{u}+\frac{1}{5}\vec{v}\right)=\dfrac{4}{25}\vec{u}\cdot\vec{u}-\dfrac{4}{25}\vec{u}\cdot\vec{v}+\dfrac{1}{25}\vec{v}\cdot\vec{v}$$ байна. $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$-ээс $\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{v}=1$ ба $\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos\alpha$ болох тул $$|\vec{p}+\vec{q}|=\sqrt{\dfrac15-\dfrac{4}{25}\cdot\cos\alpha}$$ байна. Энд $\alpha$ нь $\vec{p}$, $\vec{q}$ векторуудын хоорондох өнцөг. Энэ илэрхийллийн хамгийн их утга нь $\cos\alpha=-1$ үед $M=\dfrac{3}{5}$, хамгийн бага утга нь $\cos\alpha=1$ үед $m=\dfrac{1}{5}$ байх тул $M-m=\dfrac{2}{5}$ байна.