Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $x$-ийн тодорхой утгууд ба Ньютоны Биномын томьёо ашигла: $$(a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+\dots+C_n^ka^{n-k}b^k+\dots+C_n^na^0b^n$$

Бодолт: $x=0$ үед зүүн гар талын илэрхийллийн утга $6$, баруун гар талын илэрхийллийн утга $a_6$ тул $a_6=6$ байна.

$a_3$ нь $x^3$-ийн өмнөх коэффициент байна. Зүүн гар талын нэмэгдэхүүнүүдээс зөвхөн $(1+x)^3$, $(1+x)^4$, $(1+x)^5$-ийн задаргаанд л $x^3$ оролцоно. Эдгээрээс $x^3$, $C_4^3x^3$, $C_5^3x^3$ гэж гарах тул $1+4+10=15$ болно.

$a_2$ нь $x^4$-ийн өмнөх коэффициент байна. Зүүн гар талын нэмэгдэхүүнүүдээс зөвхөн $(1+x)^4$, $(1+x)^5$-ийн задаргаанд л $x^4$ оролцоно. Эдгээрээс $x^4$, $C_5^4x^4$ гэж гарах тул $1+5=6$ болно.

$x=1$ үед $(1+1)+(1+1)^2+\dots+(1+1)^5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$ болно. $x=-1$ үед $0=-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6$ байна. Эдгээрийн ялгавар нь $$62=2a_1+2a_3+2a_5\Rightarrow a_1+a_3+a_5=31$$ байна.