Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{m}\pm\sqrt{n}$ байхаар $m$, $n$ тоонуудыг олж бод. Энд $m+n=a$, $4mn=b$ байна.

Энэ төрлийн бодлогонд $m$, $n$-ийн бүхэл утгууд нь $b$ тооны натурал хуваагчид байдаг тул $b$-тооны хуваагчид дундаас олдох магадлал өндөр байдаг. Өөрөөр хэлбэл бид тэгшитгэлийг бодолгүйгээр утгуудыг нь тааж олох боломжтой.

Бодолт: $m_1+n_1=13$, $4m_1n_1=48$-ээс $m_1(13-m_1)=12\Rightarrow m_1=1\lor m_1=12$ байна. $m_1\le n_1$ гэж үзэж болох тул $m_1=1$, $n_1=2$. Иймд $\sqrt{13+\sqrt{48}}=1+\sqrt{12}$ байна.

$\sqrt{5-(1+\sqrt{12})}=\sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{m_2}-\sqrt{n_2}$ гэвэл $m_2+n_2=4$, $4m_2n_2=12$-ээс $m_2=3$, $n_2=1$ гэж гарна. Иймд $\sqrt{4-\sqrt{12}}=\sqrt{3}-1$ болно.

$\sqrt{3+(\sqrt3)-1}=\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{m_3}+\sqrt{n_3}$ гэвэл $m_3+n_3=2$, $4m_3n_3=3$ байна. Эндээс $m_3=\dfrac{3}{2}$, $n_3=\dfrac{1}{2}$ тул $\sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt2}{2}$ байна.