Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$f(x)=\log_2(1-\sin x)-\log_2(1+\sin x)$ бол

$f\big(\frac{\pi}{4}\big)-f(\arccos\frac18)=\fbox{a}$ ,
$f(x)=-1$ тэгшитгэл $x=\dfrac{\pi}{\fbox{b}}+\dfrac{\pi}{\fbox{c}}k$ , $k\in\mathbb Z$
$f(x)\le-2$ тэнцэтгэл биш $x\in\left[\dfrac{\pi}{\fbox{d}}+2\pi k;\dfrac{\fbox{e}\pi}{3}+2\pi k\right]\cup\left[\dfrac{\fbox{g}\pi}{3}+2\pi k;\dfrac{\fbox{h}\pi}{3}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z$ шийдтэй байна.

a = 5

bc = 42

defg = 3245

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 45.65%

Заавар:

$f(x)=\log_2(1-\sin x)-\log_2(1+\sin x)=\log_2(1-\sin^2x)=\log_2\cos^2x$ байна.

Косинус нь сөрөг байж болох тул

$\log_2\cos^2x=2\log_2\cos x$ тэнцэл үргэлж биелэх албагүйг анхаар.

Бодолт:

$f(x)=\log_2\cos^2x$ тул $f\Big(\frac{\pi}{4}\Big)=\log_2\cos^2\frac{\pi}{4}=\log_2\Big(\frac{\sqrt2}{2}\Big)^2=\log_2\frac12=-1,$ $f\Big(\arccos\frac{1}{8}\Big)=\log_2\cos^2\Big(\arccos\frac{1}{8}\Big)=\log_2\Big(\frac{1}{8}\Big)^2=\log_2\frac1{64}=-6$ тул $f\big(\frac{\pi}{4}\big)-f(\arccos\frac18)=-1-(-6)=5$ байна.
$\log_2\cos^2x=-1\Leftrightarrow \cos^2x=\dfrac12\Leftrightarrow\dfrac{1+\cos 2x}{2}=\dfrac12$ тул $\cos 2x=0$ байна. Иймд $2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}k$
$\log_2\cos^2x\le-2\Leftrightarrow \cos^2x\le\dfrac14\Leftrightarrow-\dfrac12\le\cos x\le\dfrac12$ тул $x\in\left[\dfrac{\pi}{3}+2\pi k;\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\right]\cup\left[\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k;\dfrac{5\pi}{3}+2\pi k\right],\ k\in\mathbb Z$