Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №11838
$f(x)=\dfrac{3x+p}{x^2+5x+7}$ функцийн утгын муж нь $(-1;3]$ завсарыг бүхлээр нь агуулж байх $p$ параметрийн утгын мужийг ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $f(x)=3\Rightarrow p\ge 9$ ба $g(x)=\dfrac{3x+9}{x^2+5x+7}$ нь дурын $x$-ийн хувьд $g(x)\ge-1$ болохыг харуул. $p=9+\varepsilon$ гээд $f(x)$-ийн хамгийн бага утгыг үнэл.
Бодолт: $f(x)=\dfrac{3x+p}{x^2+5x+7}$ функцийн утгын муж нь $(-1;3]$ завсарыг бүхлээр нь агуулж байх $p$ параметрийн утгын мужийг ольё.
$3$ утгын мужид орохын тулд $\dfrac{3x+p}{x^2+5x+7}=3$ тэгшитгэл шийдтэй буюу $3x^2+12x+21-p=0$ тэгшитгэл шийдтэй байна. Иймд $$D_1=12^2-4\cdot 3\cdot(21-p)\ge 0\Leftrightarrow p\ge 9$$ байна.
$g(x)=\dfrac{3x+9}{x^2+5x+7}$ гэвэл $$g^\prime(x)=\dfrac{3(x^2+5x+7)-(3x+9)(2x+5)}{(x^2+5x+7)^2}=\dfrac{-3(x^2+6x+8)}{(x^2+5x+7)^2}$$ тул $x=-4$ цэг дээр минимум $-1$ утгатай, $x=-2$ цэг дээр максимум $3$ утгатай байна.
$p=9+\varepsilon$ гэвэл $f(x)=\dfrac{3x+9}{x^2+5x+7}+\dfrac{\varepsilon}{x^2+5x+7}>-1+\dfrac{\varepsilon}{0.75}$ тул ямар ч бага $\varepsilon>0$ тоо авахад $]-\infty;-1+\frac{\varepsilon}{0.75}[$ мужийн тоонууд функцийн утга болохгүй. Иймд $p>9$ тооны хувьд $(-1;3]$ завсар бүхлээрээ утгын мужид орох боломжгүй.
$p=9$ үед $f(x)=g(x)$ болох ба утгын муж нь $[-1;3]$ тул бодлогын нөхцлийг хангана.
$3$ утгын мужид орохын тулд $\dfrac{3x+p}{x^2+5x+7}=3$ тэгшитгэл шийдтэй буюу $3x^2+12x+21-p=0$ тэгшитгэл шийдтэй байна. Иймд $$D_1=12^2-4\cdot 3\cdot(21-p)\ge 0\Leftrightarrow p\ge 9$$ байна.
$g(x)=\dfrac{3x+9}{x^2+5x+7}$ гэвэл $$g^\prime(x)=\dfrac{3(x^2+5x+7)-(3x+9)(2x+5)}{(x^2+5x+7)^2}=\dfrac{-3(x^2+6x+8)}{(x^2+5x+7)^2}$$ тул $x=-4$ цэг дээр минимум $-1$ утгатай, $x=-2$ цэг дээр максимум $3$ утгатай байна.
$p=9+\varepsilon$ гэвэл $f(x)=\dfrac{3x+9}{x^2+5x+7}+\dfrac{\varepsilon}{x^2+5x+7}>-1+\dfrac{\varepsilon}{0.75}$ тул ямар ч бага $\varepsilon>0$ тоо авахад $]-\infty;-1+\frac{\varepsilon}{0.75}[$ мужийн тоонууд функцийн утга болохгүй. Иймд $p>9$ тооны хувьд $(-1;3]$ завсар бүхлээрээ утгын мужид орох боломжгүй.
$p=9$ үед $f(x)=g(x)$ болох ба утгын муж нь $[-1;3]$ тул бодлогын нөхцлийг хангана.