Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$a$ талтай $ABCD$ зөв тетраэдр (бүх ирмэгийн урт нь тэнцүү) өгөгдөв.

$A$ оройгоос $BCD$ талд буулгасан $AH$ өндрийн урт $\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}}a$ ;
$ABCD$ тетраэдрийн эзлэхүүн $\dfrac{\sqrt{\fbox{c}}}{\fbox{de}}a^3$
Өндрийн суурь $H$ цэгээс $ABC$ талс хүртэлх зай $\dfrac{\sqrt{\fbox{f}}}{\fbox{g}}a$ байна.

ab = 63

cde = 212

fg = 69

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 42.40%

Заавар:

Бодолт:

$BH$ нь $BCD$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус байна. Иймд синусын теоремоор $\dfrac{a}{\sin 60^\circ}=2BH\Rightarrow BH=\dfrac{a}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$ байна. Пифагорын теоремоор $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{3}}=\dfrac{\sqrt6}{3}a$
Суурийн талбай нь $S=\dfrac12 a^2\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$ тул $V=\dfrac13Sh=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\cdot\dfrac{\sqrt6}{3}a=\dfrac{\sqrt2}{12}a^3$
$HABC$ пирамидын эзлэхүүн нь $V_{HABC}=\dfrac13 V=\dfrac{\sqrt2}{36}a^3$ байна. Нөгөө талаас $V_{HABC}=\dfrac13S_{ABC}\cdot d=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3a^2}{4}\cdot d=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{12}\cdot d$ Иймд $\dfrac{\sqrt{3}a^2}{12}\cdot d=\dfrac{\sqrt2}{36}a^3\Rightarrow d=\dfrac{\sqrt6}{9}a$ байна.