Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Лопиталийн дүрэм
$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^3+x^2-12x}{x^2-9}$ хязгаарыг бод.
A. $-7$
B. $-\dfrac72$
C. $0$
D. $\dfrac72$
E. Хязгаар оршин байхгүй
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 81.67%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\dfrac{0}{0}$ хэлбэрийн тодорхойгүй хязаарыг дараах аргаар бодвол хялбар байдаг тул цаг хэмнэх боломжтой.
Хэрвээ $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)=0$ ба $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)=0$ ба $f(x)$, $g(x)$ функцүүд $x=\alpha$ цэг дээр уламжлалтай бол $$\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$ байна. Үүнийг Лопиталийн дүрэм гэдэг.
Хэрвээ $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)=0$ ба $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)=0$ ба $f(x)$, $g(x)$ функцүүд $x=\alpha$ цэг дээр уламжлалтай бол $$\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$ байна. Үүнийг Лопиталийн дүрэм гэдэг.
Бодолт: $$\lim\limits_{x\to 3}(x^3+x^2-12x)=3^3+3^2-12\cdot3=0,$$ $$\lim\limits_{x\to 3}(x^2-9)=3^2-9=0$$ ба $(x^3+x^2-12x)^\prime=3x^2+2x-12$, $(x^2-9)^\prime=2x$ тул
$$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^3+x^2-12x}{x^2-9}=\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{3x^2+2x-12}{2x}=\dfrac{3\cdot 3^2+2\cdot 3-12}{2\cdot 3}=\dfrac{7}{2}$$