Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тэнцэтгэл биш ашиглан тэгшитгэл бодох
$4\sin^42x-8\cos^34x=12$ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}+\dfrac{\pi k}{\fbox{b}}$, хамгийн их сөрөг шийд нь $x=-\dfrac{\pi}{\fbox{c}}$ ба шийд нь $2016< x<2017$ нөхцлийг хангахын тулд $k=\fbox{defg}$ байна.
ab = 42
c = 4
defg = 1283
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 46.03%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Тэгшитгэлийн зүүн гар талыг дээрээс нь үнэл.
Бодолт: $|\sin 2x|\le 1$ ба $|\cos4x|\le 1$ тул $4\sin^42x-8\cos^34x\le 4+8=12$ байх ба зөвхөн $\sin^42x=1$ ба $\cos^3 4x=-1$ үед л тэнцэлдээ хүрэх нь ойлгомжтой.
$$\sin^42x=1\Leftrightarrow\sin^22x=1\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 4x}{2}=1\Leftrightarrow\cos 4x=-1$$ байна. Мэдээж энэ үед $\cos^34x=-1$ тул зөвхөн $\cos4x=-1$ тэгшитгэлийг бодоход л хангалттай. Иймд $$4x=\pi+2\pi k\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}$$ $\pi>3.1415$ гэсэн ойролцоо утгыг нь ашиглан $2015<\dfrac{3.1415(1+2k)}{4}$ тэнцэтгэл бишийг бодвол $1282< k$ болно. $k=1283$ үед $x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1283\pi}{4}\approx2016.1$ шийд $2016< x<2017$ нөхцлийг хангахыг шалгахад төвөгтэй биш.
$$\sin^42x=1\Leftrightarrow\sin^22x=1\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 4x}{2}=1\Leftrightarrow\cos 4x=-1$$ байна. Мэдээж энэ үед $\cos^34x=-1$ тул зөвхөн $\cos4x=-1$ тэгшитгэлийг бодоход л хангалттай. Иймд $$4x=\pi+2\pi k\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}$$ $\pi>3.1415$ гэсэн ойролцоо утгыг нь ашиглан $2015<\dfrac{3.1415(1+2k)}{4}$ тэнцэтгэл бишийг бодвол $1282< k$ болно. $k=1283$ үед $x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1283\pi}{4}\approx2016.1$ шийд $2016< x<2017$ нөхцлийг хангахыг шалгахад төвөгтэй биш.