Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Хоёр тойргийн огтлолцолд үүсэх дүрс
$AB=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ байв. $A$ цэгт төвтэй 2 радиустай тойрог, $B$ цэгт төвтэй $2\sqrt2$ радиустай тойрогтой $C$ ба $D$ цэгүүдэд огтлолцдог. $\measuredangle CAD=\fbox{ab}^\circ$ ба $\measuredangle CBD=\fbox{cd}^\circ$ байна. Хоёр тойргийн огтлолцолд үүсэх дүрсээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай нь $$S=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\cdot\pi-\fbox{g}-\fbox{h}\sqrt3$$
ab = 90
cd = 60
efgh = 7322
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 42.75%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\triangle ABC$-д косинусын теорем бичиж $\measuredangle CAB$, $\measuredangle CBA$-г ол.
$R$ радиустай дугуйн $\theta$ төв өнцөгт харгалзах секторын талбай нь $\dfrac{\theta R^2}{2}$, сегментийн талбай нь $\dfrac{(\theta-\sin\theta)R^2}{2}$ байна.
$R$ радиустай дугуйн $\theta$ төв өнцөгт харгалзах секторын талбай нь $\dfrac{\theta R^2}{2}$, сегментийн талбай нь $\dfrac{(\theta-\sin\theta)R^2}{2}$ байна.
Бодолт: $\triangle ABC$-д косинусын теорем бичвэл
$$\cos\measuredangle CAB=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{(\sqrt2+\sqrt6)^2+2^2-(2\sqrt2)^2}{2\cdot(\sqrt2+\sqrt6)\cdot 2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$$
$$\cos\measuredangle CBA=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{(\sqrt2+\sqrt6)^2+(2\sqrt2)^2-2^2}{2\cdot(\sqrt2+\sqrt6)\cdot 2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$$
тул $\measuredangle CAB=45^\circ$, $\measuredangle CBA=30^\circ$ байна.
Иймд $\measuredangle CAD=2\cdot 45^\circ=90^\circ$ ба $\measuredangle CBD=2\cdot 30^\circ=60^\circ$ байна. Бидний олох дүрсийн талбай нь 2 сегментийн талбайн нийлбэр тул
$$S=\dfrac12\Big(\dfrac{\pi}{2}-\sin\dfrac{\pi}{2}\Big)\cdot 2^2+\dfrac12\Big(\dfrac{\pi}{3}-\sin\dfrac{\pi}{3}\Big)\cdot (2\sqrt2)^2=\dfrac{7}{3}\pi-2+2\sqrt3$$