Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\triangle ABC$-д косинусын теорем бичиж $\measuredangle CAB$, $\measuredangle CBA$-г ол.

$R$ радиустай дугуйн $\theta$ төв өнцөгт харгалзах секторын талбай нь $\dfrac{\theta R^2}{2}$, сегментийн талбай нь $\dfrac{(\theta-\sin\theta)R^2}{2}$ байна.

Бодолт: $\triangle ABC$-д косинусын теорем бичвэл $$\cos\measuredangle CAB=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{(\sqrt2+\sqrt6)^2+2^2-(2\sqrt2)^2}{2\cdot(\sqrt2+\sqrt6)\cdot 2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$$ $$\cos\measuredangle CBA=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{(\sqrt2+\sqrt6)^2+(2\sqrt2)^2-2^2}{2\cdot(\sqrt2+\sqrt6)\cdot 2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$$ тул $\measuredangle CAB=45^\circ$, $\measuredangle CBA=30^\circ$ байна. Иймд $\measuredangle CAD=2\cdot 45^\circ=90^\circ$ ба $\measuredangle CBD=2\cdot 30^\circ=60^\circ$ байна. Бидний олох дүрсийн талбай нь 2 сегментийн талбайн нийлбэр тул $$S=\dfrac12\Big(\dfrac{\pi}{2}-\sin\dfrac{\pi}{2}\Big)\cdot 2^2+\dfrac12\Big(\dfrac{\pi}{3}-\sin\dfrac{\pi}{3}\Big)\cdot (2\sqrt2)^2=\dfrac{7}{3}\pi-2+2\sqrt3$$