Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тодорхой интегралыг бодох орлуулгын арга
$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos^2x \sin x\mathrm{d}x$
A. $\frac13$
B. $-\frac1{12}$
C. $\frac1{12}$
D. $-\frac9{12}$
E. $\frac9{12}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 61.02%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$$
бол
$$\int_a^b f[g(x)]g^\prime(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f[g(x)]\,\mathrm{d}g(x)=$$
$$=\int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,\mathrm{d}t=F[g(b)]-F[g(a)]$$
байдаг. Үүнийг тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга гэдэг.
Бодолт: $f(x)=-x^2$, $g(x)=\cos x$ ба $F(x)=-\dfrac{x^3}{3}$ гэвэл
$(\cos x)^\prime=-\sin x$ тул
$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos^2x \sin x\mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}-\cos^2x (\cos x)^\prime\mathrm{d}x=$$
$$=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}-\cos^2x \mathrm{d}\cos x=\int_{\cos\frac{\pi}{2}}^{\cos{\pi}}-t^2\mathrm{d}t=$$
$$=\int_0^{-1}-t^2\mathrm{d}t=\Big(-\dfrac{t^3}{3}\Big)\bigg|_0^{-1}=-\dfrac{(-1)^3}{3}-\Big(-\dfrac{0^3}{3}\Big)=\dfrac13$$