Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos^2x \sin x\mathrm{d}x$

$\frac13$ B.

$-\frac1{12}$ C.

$\frac1{12}$ D.

$-\frac9{12}$ E.

$\frac9{12}$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 61.02%

Заавар:

$\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$ бол

$\int_a^b f[g(x)]g^\prime(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f[g(x)]\,\mathrm{d}g(x)=$

$=\int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,\mathrm{d}t=F[g(b)]-F[g(a)]$ байдаг. Үүнийг тодорхой биш интегралыг бодох орлуулгын арга гэдэг.

Бодолт:

$f(x)=-x^2$ ,

$g(x)=\cos x$ ба

$F(x)=-\dfrac{x^3}{3}$ гэвэл

$(\cos x)^\prime=-\sin x$ тул

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos^2x \sin x\mathrm{d}x=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}-\cos^2x (\cos x)^\prime\mathrm{d}x=$

$=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}-\cos^2x \mathrm{d}\cos x=\int_{\cos\frac{\pi}{2}}^{\cos{\pi}}-t^2\mathrm{d}t=$

$=\int_0^{-1}-t^2\mathrm{d}t=\Big(-\dfrac{t^3}{3}\Big)\bigg|_0^{-1}=-\dfrac{(-1)^3}{3}-\Big(-\dfrac{0^3}{3}\Big)=\dfrac13$