Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $e$ тоо нь иррационал тоон бөгөөд үүнийг дунд сургуулийн хичээлийн хүрээнд заадаггүй боловч мэдэж байх шаардлагатай.

$\sqrt8$, $\sqrt[3]{81}$ тоонуудыг $\dfrac{m}{n}$, $m$, $n\in\mathbb Z$ хэлбэрт бичиж болохгүйг харуулах төвөгтэй биш. Үетэй аравтын бутархай болон энгийн бутархай нь рационал тоонууд юм.

Бодолт: $11.(15)=11+\frac{15}{100}\big(1+\frac1{100}+\frac1{100^2}+\dots \big)=11+\frac{15}{100}\cdot\frac{1}{1-\frac1{100}}=11\frac{15}{99}$ тул рационал тоо болно.

$\sqrt{8}$ тоог $\dfrac{m}{n}$, $m$, $n\in\mathbb N$ байх үл хураагдах бутархай хэлбэрээр бичиж болдог гэж үзье. Тэгвэл $\sqrt{8}n=m$ болно. Үүний хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлсний дараа $8n^2=m^2$ тэнцэтгэлийн зүүн гар тал нь $8$-д хуваагдах тул $m$ нь 4-т хуваагдах ёстой. Өөрөөр хэлбэл $m=4m_1$, $m_1\in\mathbb N$ гэж бичиж болно. Эндээс $8n^2=16m_1^2$ болох бөгөөд $n^2=2m_1^2$ болно. Одоо тэнцэтгэлийн баруун гар тал нь $2$-т хуваагдах тул $n=2n_1$, $n\in\mathbb N$ хэлбэртэй бичигдэнэ. Эндээс $n$, $m$ нь хоёул $2$-т хуваагдах болж зөрчил үүсэж байна. Иймд $\sqrt{8}$ тоог $\dfrac{m}{n}$ хэлбэртэй бичиж болохгүй тул иррационал тоо байна.

$\sqrt[3]{81}$ тоог өмнөхтэй яг адил аргаар $\dfrac{m}{n}$ хэлбэртэй бичиж болохгүйг харуулж болох тул иррационал тоо болно.

Мэдээж $\dfrac{7}{11}$ нь рационал тоо юм.