Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Давхар функцийн уламжлал олох $$[f(g(x))]^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$$ ба ноогдворын уламжлалыг олох $$\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)^\prime=\dfrac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)}$$ томьёог ашигла.

$f(x)$ функц $x=x_0$ цэг дээр минимум утгаа авах бол $f^\prime(x_0)=0$ байна.

Бодолт: $$\begin{align*} f^\prime(x)&=\left[\ln\dfrac{mx^2+7}{nx+3}\right]^\prime=\dfrac{1}{\frac{mx^2+7}{nx+3}}\cdot\Big(\dfrac{mx^2+7}{nx+3}\Big)^\prime\\ &=\dfrac{1}{\frac{mx^2+7}{nx+3}}\cdot\dfrac{2mx(nx+3)-n(mx^2+7)}{(nx+3)^3}\\ &=\dfrac{mnx^2+6mx-7n}{(mx^2+7)(nx+3)} \end{align*}$$ тул $$f^\prime(2)=\dfrac{4mn+12m-7n}{(4m+7)(2n+3)}=\dfrac{4m}{4m+7}-\dfrac{n}{2n+3}$$ $x=2$ цэг дээр минимум утгатай бол $4mn+12m-7n=0$ байна. Бид $0\le m,n\le 9$ байх бүхэл шийдийг хайж байгаа тул $n=0, 4, 8$ ($n$ нь 4-т хуваагдана) гэсэн утгуудыг шалгаж үзье. $n=0$ үед $m=0$ болно. Энэ үед $f(x)=\ln\dfrac{7}{3}$ гэсэн тогтмол функц тул минимум утга байхгүй. $n=4$ үед $16m+12m-28=0\Rightarrow m=1$ байна. $n=8$ үед $32m+12m-56=0\Rightarrow m=\dfrac{56}{44}$ гэсэн бүхэл утга гарахгүй тул $m=1$ ба $n=4$ гэсэн утгуудыг авна.