Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2008 A №71
$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+6x+\sin 8x}{\sin4x-8x}$ хязгаарыг бод.
A. $0$
B. $-\dfrac72$
C. $\dfrac78$
D. $1$
E. $-\dfrac34$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 29.78%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Лопиталийн дүрэм:
Хэрвээ $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)=0$ ба $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)=0$ ба $f(x)$, $g(x)$ функцүүд $x=\alpha$ цэг дээр уламжлалтай бол $$\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$ байна.
Хэрвээ $\lim\limits_{x\to\alpha}f(x)=0$ ба $\lim\limits_{x\to\alpha}g(x)=0$ ба $f(x)$, $g(x)$ функцүүд $x=\alpha$ цэг дээр уламжлалтай бол $$\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$ байна.
Бодолт: $$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+6x+\sin 8x}{\sin4x-8x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x+6+8\cos 8x}{4\cos4x-8}=$$
$$=\dfrac{2\cdot 0+6+8\cos0}{4\cos0-8}=\dfrac{14}{-4}=-\dfrac72$$
Жич: Үүнийг өөрөөр хүртвэр ба хуваарийг $x$-д хувааж өгөөд $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin\alpha x}{x}=\alpha$ болохыг ашиглан бодож болно. Гэвч Лопиталын дүрэм ашиглах нь ихэнхи тохиолдолд хялбархан байдаг тул ЭЕШ-ийн шалгалтын үед бодлогыг түргэн бодох боломж олгодог.
Жич: Үүнийг өөрөөр хүртвэр ба хуваарийг $x$-д хувааж өгөөд $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin\alpha x}{x}=\alpha$ болохыг ашиглан бодож болно. Гэвч Лопиталын дүрэм ашиглах нь ихэнхи тохиолдолд хялбархан байдаг тул ЭЕШ-ийн шалгалтын үед бодлогыг түргэн бодох боломж олгодог.