Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$2\sin7x\cdot\sin 3x=\sqrt{p}-2+\cos 4x$ тэгшитгэл өгөгдөв.

Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $p$ параметрийн утга нь $p\in[\fbox{a};\fbox{b}]$ байна.
$p=9$ үед тэгшитгэлийн шийд нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{cd}}+\dfrac{\pi k}{\fbox{e}}$ байна.

ab = 19

cde = 105

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 57.95%

Заавар:

$2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$ ашигла.

Бодолт:

$2\sin7x\cdot\sin 3x=\cos(7x-3x)-\cos(7x+3x)=\cos4x-\cos10x$ тул

$2\sin7x\cdot\sin 3x=\sqrt{p}-1+\cos 4x\Leftrightarrow -\cos10x=\sqrt{p}-2$ тэгшитгэл шийдтэй байхын тулд

$-1\le\sqrt{p}-2\le 1\Leftrightarrow 1\le p\le9$ байна.

$p=9$ үед

$-\cos 10x=\sqrt{9}-2=1$ тул

$\cos10x=-1$ байна. Энэ тэгшитгэлийн шийд нь

$10x=\pi+2\pi k\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}$