Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\displaystyle\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x$

$22$ B.

$23$ C.

$24$ D.

$25$ E.

$26$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 66.92%

Заавар:

$a< b< c$ бол

$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x$ байдаг.

$f(x)=x^2-4x+3$ функцийн эерэг ба сөрөг байх мужийг олоод муж тус бүр дээр

$|f(x)|$ -ийн интегралыг бод.

Бодолт:

$x^2-4x+3<0\Leftrightarrow 1< x<3$ байна.

$[-2,5]$ мужийг

$[-2;1]$ ,

$[1;3]$ ,

$[3;5]$ мужуудад хувааж бодвол

$\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{-2}^{1}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x+$

$+\int_{1}^{3}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x+\int_{3}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x$ ба

$\int_{-2}^{1}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{-2}^{1}(x^2-4x+3)\,\mathrm{d}x=\Big(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\Big)\bigg|_{-2}^1=$

$=\Big(\dfrac{1^3}{3}-2\cdot1^2+3\cdot1\Big)-\Big(\dfrac{(-2)^3}{3}-2\cdot(-2)^2+3\cdot(-2)\Big)=$

$=\dfrac{4}{3}-\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)=18,$

$\int_{1}^{3}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{1}^{3}-(x^2-4x+3)\,\mathrm{d}x=\Big(-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x\Big)\bigg|_{1}^3=$

$=\Big(-\dfrac{3^3}{3}+2\cdot3^2-3\cdot3\Big)-\Big(-\dfrac{1^3}{3}+2\cdot1^2-3\cdot1\Big)=0-\Big(-\dfrac{4}{3}\Big)=\dfrac{4}{3},$

$\int_{3}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=\int_{3}^{5}(x^2-4x+3)\,\mathrm{d}x=\Big(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\Big)\bigg|_{3}^5=$

$=\Big(\dfrac{5^3}{3}-2\cdot5^2+3\cdot5\Big)-\Big(\dfrac{3^3}{3}-2\cdot3^2+3\cdot3\Big)=\dfrac{20}{3}+0=\dfrac{20}{3}$ тул

$\int_{-2}^{5}|x^2-4x+3|\,\mathrm{d}x=18+\dfrac{4}{3}+\dfrac{20}{3}=26$