Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x=a$ , $x=2a\ (0< a<2.5)$ , $y=0$ , $y=5+4x-x^2$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрс $a$ -ийн ямар утганд хамгийн их талбайтай байх вэ?

$\dfrac{-6+\sqrt{71}}{7}$ B.

$\dfrac{-6-\sqrt{71}}{7}$ C.

$\dfrac{9-\sqrt{186}}{7}$ D.

$\dfrac{-9+\sqrt{186}}{7}$ E.

$\dfrac{6+\sqrt{71}}{7}$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 27.70%

Заавар:

$x\in[-1;5]$ мужид

$y=5+4x-x^2>0$ байна.

Бодолт:

$a\in]0;2.5[$ үед

$]a;2a[\in[-1;5]$ тул

$y=5+4x-x^2>0$ байна. Иймд бидний олох дүрсийн талбай

$S(a)=\int_a^{2a}[(5+4x-x^2)-0]\,\mathrm{d}x=\Big(5x+2x^2-\dfrac{x^3}{3}\Big)\bigg|_{a}^{2a}=$

$=\Big(10a+8a^2-\dfrac{8a^2}{3}\Big)-\Big(5a+2a^2-\dfrac{a^2}{3}\Big)=-\dfrac{7a^3}{3}+6a^2+5a$

$S^\prime(a)=-7a^2+12a+5=0\Leftrightarrow a=\dfrac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot(-7)\cdot 5}}{2\cdot(-7)}$ тул

$a_1=\dfrac{6+\sqrt{71}}{7}$ ,

$a_2=\dfrac{6-\sqrt{71}}{7}$ ба

$a_1=\dfrac{6+\sqrt{71}}{7}$ нь максимумын цэг байна.