Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Энэ төрлийн интегралыг бодоход $$\int uv^\prime\,\mathrm{d}x =uv-\int u^\prime v\,\mathrm{d}x$$ хэсэгчлэн интегралчлах томьёог нэг буюу түүнээс дээш удаа ашиглан боддог.

Мөн эх функц олох буюу тодорхой биш интеграл бодох нь уламжлалын эсрэг үйлдэл тул хариунаас бодох боломжтой.

Бодолт: $u=x^2$, $v^\prime=e^{2x}$ гэвэл $u^\prime=2x$, $v=\int e^{2x}\,\mathrm{d}x=\frac12e^{2x}+C$ байна. Энд $C$ нь дурын тогтмол тоо байж болно. $$\displaystyle\int x^2e^{2x}\mathrm{d}x=x^2\cdot\frac12e^{2x}-\int 2x\cdot \frac12e^{2x}\,\mathrm{d}x$$ (эндээс $x^2e^{2x}$-ийн коэффициентээр зөв хариуг баримжаалж болно) болох ба $\displaystyle\int 2x\cdot \frac12e^{2x}\,\mathrm{d}x$ интегралыг мөн хэсэгчлэн интегралчлах аргаар бодвол $$\int 2x\cdot \frac12e^{2x}\,\mathrm{d}x=2x\cdot\dfrac14e^{2x}-\int2\cdot\dfrac14e^{2x}\,\mathrm{d}x=$$ $$=\dfrac{x}{2}\cdot e^{2x}-\dfrac14e^{2x}+C$$ тул $$\displaystyle\int x^2e^{2x}\mathrm{d}x=\frac14(2x^2-2x+1)e^{2x}+C$$ байна.

Мэдээж үржвэрийн уламжлал олох томьёо ашиглан $$\Big[\frac14(2x^2-2x+1)e^{2x}\Big]^\prime=\dfrac14(4x-2)e^{2x}+\frac14(2x^2-2x+1)\cdot 2e^{2x}=$$ $$=xe^{2x}-\dfrac12e^{2x}+x^2e^{2x}-xe^{2x}+\dfrac12e^{2x}=x^2e^{2x}$$ гээд зөв хариуг шалгах нь хамгийн товч бодолт байна.

Санамж: Хэдийгээр эх функцийг олох бодлогын хувьд хариуг шалгах нь илүү дөт боловч тодорхой интеграл бодох үед заавал эх функцийг олох хэрэгтэй болдог тул эх функцийг олох аргуудыг зайлшгүй мэддэг байх шаардлагатай.