Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Багтаасан бөмбөлгийн төв нь пирамидын оройгуудаас ижил зайд алслагдсан цэг байна.

Суурийг багтаасан тойргийн радиусыг олж төвөөс нь багтаасан бөмбөлгийн төв хүртэлх зайг сонирх. Пирамидын эзлэхүүн нь $V=\dfrac13S_{\text{суурь}}H$ нь ба суурийн талбай нь $\dfrac32r^2\sin120^\circ$ байна. Энд $r$ нь суурийн гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус.

Бодолт: $S_{\text{суурь}}=\dfrac{3V}{H}=\dfrac{3\cdot 36\sqrt3}{6}=18\sqrt{3}$ ба нөгөө талаас $$S_{\text{суурь}}=\dfrac32r^2\sin120^\circ=\dfrac{3\sqrt3}{4}r^2$$ тул $\dfrac{3\sqrt3}{4}r^2=18\sqrt3\Rightarrow r^2=24$ байна. Суурийн төвөөс багтаасан бөмбөлгийн төв хүртэлх зайг $d$ гэвэл $R=H\pm d$ ба $R^2=r^2+d^2$ байна. Иймд $$R^2=12+(R-H)^2\Rightarrow R^2=24+R^2-2RH+H^2$$ $$\Rightarrow R=\dfrac{H^2+24}{2H}=\dfrac{36+24}{2\cdot 6}=5$$