Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тригонометр функцийн утгын муж
$y=\sin x+\cos2x$ функцийн утгын мужийг ол.
A. $[-2;2]$
B. $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$
C. $\big[-2;1\frac18\big]$
D. $\big]-\infty;1\frac18\big]$
E. $[-2;\sqrt{2}]$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 58.28%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\cos2x=1-2\sin^2x$ ашиглан $y$-ийг $-1\le s=\sin x\le 1$-ээр илэрхийл.
Бодолт: $$y=\sin x+\cos2x=\sin x+1-2\sin^2x=-2s^2+s+1$$
тул $y$-ийн утгын муж нь $f(s)=-2s^2+s+1$-ийн $s\in[-1;1]$ байх үеийн утгын мужтай тэнцүү байна.
$f^\prime(s)=-4s+1=0\Rightarrow s=\dfrac14$ үед $f\Big(\dfrac14\Big)=-2\cdot\dfrac{1}{4^2}+\dfrac14+1=1\dfrac18$ хамгийн их утгатай. $f(-1)=-2$ нь $f(1)=0$-ээс бага тул хамгийн бага утга нь $-2$ байна. Иймд утгын муж нь $\big[-2;1\frac18\big]$ байна.
$f^\prime(s)=-4s+1=0\Rightarrow s=\dfrac14$ үед $f\Big(\dfrac14\Big)=-2\cdot\dfrac{1}{4^2}+\dfrac14+1=1\dfrac18$ хамгийн их утгатай. $f(-1)=-2$ нь $f(1)=0$-ээс бага тул хамгийн бага утга нь $-2$ байна. Иймд утгын муж нь $\big[-2;1\frac18\big]$ байна.