Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Орлуулга
$5^{\cos6x}+5^{\cos^23x}=10$ тэгшитгэл $x=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}k$, $k\in\mathbb Z$ шийдтэй бөгөөд тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд нь $\alpha$ бол $\sin\alpha=\dfrac{\fbox{c}\sqrt{\fbox{d}}}{\fbox{e}}$ байна.
a = 3
bcd = -32
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 57.56%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\cos6x=2\cos^23x-1$ ба $t=5^{\cos^23x}$ орлуулга ашиглан бод.
Бодолт: $t=5^{\cos^23x}$ гэвэл
$$5^{\cos6x}+5^{\cos^23x}=10\Leftrightarrow\dfrac{5^{2\cos^23x}}{5}+5^{\cos^23x}=10\Leftrightarrow$$
$$t^2+5t-50=0\Rightarrow t_1=5, t_2=-10$$
байна. Нөгөө талаас $t>0$ тул $t=5$ буюу $$5^{\cos^23x}=5\Leftrightarrow\cos^23x=1\Leftrightarrow\dfrac{1+\cos6x}{2}=1\Leftrightarrow\cos6x=1$$
байна.
Иймд $6x=2\pi k\Rightarrow x=\dfrac{\pi k}{3}$ байна. Хамгийн их сөрөг шийд нь $k=-1$ үед $\alpha=-\dfrac{\pi}{3}$ байна. Иймд $\sin\alpha=\dfrac{-\sqrt3}{2}$.
Иймд $6x=2\pi k\Rightarrow x=\dfrac{\pi k}{3}$ байна. Хамгийн их сөрөг шийд нь $k=-1$ үед $\alpha=-\dfrac{\pi}{3}$ байна. Иймд $\sin\alpha=\dfrac{-\sqrt3}{2}$.