Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Пирамидын эзлэхүүн
$ABCD$ пирамидын $AB=2$, $BC=\sqrt7$, $CA=3$, $AD=BD=CD=4$ бол эзлэхүүнийг ол.
A. $6\sqrt3$
B. $\sqrt{41}$
C. $\dfrac{\sqrt{21}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{42}}{3}$
E. $\dfrac{\sqrt{41}}{2}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 19.70%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $D$ оройгоос $ABC$ суурьт татсан өндрийн суурийг $O$ гэвэл Пифагорын теоремоор $OA=OB=OC$ болно.
Бодолт: Косинусын теоремоор
$$\cos\alpha=\dfrac{2^2+3^2-(\sqrt7)^2}{2\cdot2\cdot 3}=\dfrac12$$
ба $0^\circ<\alpha<180^\circ$ тул
$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Иймд синусын теоремоор
$$R=\dfrac{\sqrt7}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$$
Пифагорын теорем ашиглан пирамидын өндрийг нь олбол
$$h=\sqrt{4^2-\left(\dfrac{\sqrt{21}}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{123}}{3}$$
Суурийн талбай нь
$S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot2\cdot 3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ тул пирамидын эзлэхүүн
$$V=\dfrac13\cdot\dfrac{3\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{123}}{3}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$$