Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x=\dfrac{1}{\sqrt3-\sqrt2}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}$ бол $x^3+x^2y+xy^2+y^3=\fbox{ab}\sqrt3$
$a=\dfrac{2}{3-\sqrt5}$ бол $a+\dfrac1a=\fbox{c}$, $a^2+\dfrac{1}{a^2}=\fbox{d}$, $a^5+\dfrac{1}{a^5}=\fbox{efg}$

ab = 20

c = 3

d = 7

efg = 123

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 22.07%

Заавар:

Олох илэрхийллээ $x+y$, $x\cdot y$-ээр илэрхийл.
$a^n+\dfrac{1}{a^n}$ хэлбэрийн илэрхийлийг $n$-ийн бага зэргүүдээр илэрхийлж болдог.

Бодолт:

$x+y=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2+\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}=2\sqrt3$, $x\cdot y=\dfrac{1}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}=1$ тул $$x^3+x^2y+xy^2+y^3=(x+3)^3-2xy(x+y)=$$ $$=(2\sqrt3)^3-2\cdot1\cdot2\sqrt3=20\sqrt3$$
$a=\dfrac{2}{3-\sqrt5}=\dfrac{2(3+\sqrt5)}{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$ ба $\dfrac{1}{a}=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ байна. Иймд $$a+\dfrac1a=\dfrac{3+\sqrt5}{2}+\dfrac{3-\sqrt5}{2}=3$$ байна. $$a^2+\dfrac{1}{a^2}=\Big(a+\dfrac1a\Big)^2-2=3^2-2=7$$ Түүнчлэн $$a^3+\dfrac{1}{a^3}=\Big(a+\dfrac1a\Big)^3-3\Big(a+\dfrac1a\Big)=3^3-3\cdot 3=18$$ ба $$a^5+\dfrac{1}{a^5}=\Big(a^2+\dfrac{1}{a^2}\Big)\Big(a^3+\dfrac{1}{a^3}\Big)-\Big(a+\dfrac{1}{a}\Big)=18\cdot 7-3=123$$ байна.