Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $(p,q)$ цэгт оройтой параболын тэгшитгэл нь $y=a(x-p)^2+q$ хэлбэртэй байна. $(3,3)$ цэгийг дайрна гэдгээс $a$-г олоод тодорхой интеграл ашиглан талбай бодох арга ашиглан бод.

$x\in[\alpha,\beta]$ мужид $f(x)\ge g(x)$ бол $f(x)$ ба $g(x)$ функцийн график ба $x=\alpha$, $x=\beta$ шулуунуудаар зааглагдсан дүрсийн талбай нь: $$\int_{\alpha}^{\beta}[f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x$$ байна.

Парабол ба шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбайг бодоход $$\int_{\alpha}^{\beta}p(x-\alpha)(x-\beta)\,\mathrm{d}x=\dfrac{p(\alpha-\beta)^3}{6}$$ томьёог ашиглавал тохиромжтой байдаг.

Бодолт: Параболын тэгшитгэл нь $y=a(x-2)^2+4$ байна. $x=3$ үед $y=3$ тул $$3=a(3-2)^2+4\Rightarrow a=-1$$ байна. Иймд $$y=-(x-2)^2+4=-x^2+4x$$ парабол ба $y=x$ шулууны хооронд үүсэх дүрсийн талбайг бодно. Зааварт байгаа талбай олох томьёонд $f(x)=-x^2+4x$, $g(x)=x$, $\alpha=0$, $\beta=3$ гэвэл $$\int_0^{3}[-x^2+4x-x]\,\mathrm{d}x=-\int_0^{3}x(x-3)\,\mathrm{d}x=$$ $$=-\dfrac{(0-3)^3}{6}=\dfrac{9}{2}=4\dfrac12$$