Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Төсөөгийн харьцаа бичээд $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+kc}{b+kd}$$ пропорцийн чанар ашигла.

Талбайг Героны томьёо ашиглан олоорой.

Бодолт: $\triangle ABC\sim\triangle ADE$ тул $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$$ байна. Иймд пропорцийн чанараар $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC-AE}{AB-AD}=\dfrac{EC}{BD}$$ болно. Эндээс $$\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DB+EC}{AB+AC}=\dfrac{5}{8+12}=\dfrac{1}{4}$$ тул $AC=4EC$ байна. Иймд $AE=3EC$ болно. Өмнө бичсэн төсөөгийн харьцаагаар $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{3EC}{4EC}=\dfrac{3}{4}$$ болох тул $AD=\dfrac34\cdot 8=6$, $AE=\dfrac34\cdot 12=9$, $DE=\dfrac{3}{4}\cdot 16=12$ байна.

$p=\dfrac{6+9+12}{3}=\dfrac{27}{2}$, $p-a=\dfrac{27}{2}-6=\dfrac{15}{2}$, $p-b=\dfrac{27}{2}-9=\dfrac{9}{2}$, $p-c=\dfrac{27}{2}-12=\dfrac{3}{2}$ тул Героны томьёо ёсоор $$S_{\triangle ADE}=\sqrt{\dfrac{27}{2}\cdot \dfrac{15}{2}\cdot \dfrac{9}{2}\cdot \dfrac{3}{2}}=\dfrac{27\sqrt{15}}{4}$$