Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Төгсгөлгүй буурах геометр прогресс
Төгсгөлгүй буурах $b_{n}$ геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь $\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i=2$, квадратуудын нийлбэр нь $\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^2=1$ бол $b_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$, $q=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болох тул кубуудын нийлбэр нь $\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^3=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$ байна.
ab = 45
cd = 35
efgh = 3249
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 41.77%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь $S=\dfrac{b_1}{1-q}$ байдаг. Геометр прогрессийн гишүүдийн квадрат болон кубууд нь тус бүрдээ геометр прогресс болохыг ашигла.
Бодолт: Нийлбэрийн томьёогоор $\dfrac{b_1}{1-q}=2$, $\dfrac{b_1^2}{1-q^2}=1$ байна.
$$\dfrac{b_1^2}{1-q^2}=\dfrac{b_1}{1-q}\cdot\dfrac{b_1}{1+q}=\dfrac{2b_1}{1+q}=1$$ тул
$$\bigg\{\begin{array}{c}b_1=2-2q\\ 2b_1=1+q\end{array}\Rightarrow b_1=\dfrac{4}{5},\ q=\dfrac{3}{5}$$
болно. Иймд
$$\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^3=\dfrac{b_1^3}{1-q^3}=\dfrac{\Big(\dfrac{4}{5}\Big)^3}{1-\Big(\dfrac{3}{5}\Big)^3}=\dfrac{32}{49}$$