Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь $S=\dfrac{b_1}{1-q}$ байдаг. Геометр прогрессийн гишүүдийн квадрат болон кубууд нь тус бүрдээ геометр прогресс болохыг ашигла.

Бодолт: Нийлбэрийн томьёогоор $\dfrac{b_1}{1-q}=2$, $\dfrac{b_1^2}{1-q^2}=1$ байна. $$\dfrac{b_1^2}{1-q^2}=\dfrac{b_1}{1-q}\cdot\dfrac{b_1}{1+q}=\dfrac{2b_1}{1+q}=1$$ тул $$\bigg\{\begin{array}{c}b_1=2-2q\\ 2b_1=1+q\end{array}\Rightarrow b_1=\dfrac{4}{5},\ q=\dfrac{3}{5}$$ болно. Иймд $$\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^3=\dfrac{b_1^3}{1-q^3}=\dfrac{\Big(\dfrac{4}{5}\Big)^3}{1-\Big(\dfrac{3}{5}\Big)^3}=\dfrac{32}{49}$$