Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Логарифм тэгшитгэл
$\log_{5x}\dfrac{5}{x}+\log_5^2x=1$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $\dfrac{31}{5}$
B. $\dfrac{26}{5}$
C. $\dfrac{151}{25}$
D. $\dfrac{26}{25}$
E. $6$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 62.50%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $y=\log_5x$ орлуулага хий.
Бодолт: Хэрэв $y=\log_5x$ гэвэл
$\log_{5x}\dfrac{5}{x}=\dfrac{\log_5 \dfrac{5}{x}}{\log_5 5x}=\dfrac{1-\log_5x}{1+\log_5x}=\dfrac{1-y}{1+y}$ болох ба
манай тэгшитгэл $\dfrac{1-y}{1+y}+y^2=1$ болно.
Үүнийг хялбарчилвал $y^3+y^2-2y=0$ болох ба эхний шийд $y=0$
$y$ т хуваасны дараа $y^2+y-2=0$ болох ба энэ квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд нь
$\{1,-2\}$ болно.
$y=0$ үед $\log_5x=0$ буюу $x=5^0=1$
$y=1$ үед $\log_5x=1$ буюу $x=5^1=5$
$y=-2$ үед $\log_5x=-2$ буюу $x=5^{-2}=\frac{1}{25}$
Эдгээрийн нийлбэр $1+5+\dfrac{1}{25}=\dfrac{151}{25}$ болно.
$\log_{5x}\dfrac{5}{x}=\dfrac{\log_5 \dfrac{5}{x}}{\log_5 5x}=\dfrac{1-\log_5x}{1+\log_5x}=\dfrac{1-y}{1+y}$ болох ба
манай тэгшитгэл $\dfrac{1-y}{1+y}+y^2=1$ болно.
Үүнийг хялбарчилвал $y^3+y^2-2y=0$ болох ба эхний шийд $y=0$
$y$ т хуваасны дараа $y^2+y-2=0$ болох ба энэ квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд нь
$\{1,-2\}$ болно.
$y=0$ үед $\log_5x=0$ буюу $x=5^0=1$
$y=1$ үед $\log_5x=1$ буюу $x=5^1=5$
$y=-2$ үед $\log_5x=-2$ буюу $x=5^{-2}=\frac{1}{25}$
Эдгээрийн нийлбэр $1+5+\dfrac{1}{25}=\dfrac{151}{25}$ болно.