Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Holy guacamole! www.integral.mn сайт 2026-01-01-ээс шинэчлэгдэж www.mathminds.club хуудас руу шилжинэ.
ХИ хажуу гадаргуугийн талбайтай багтсан конус
$R=15$ радиустай бөмбөлөгт хамгийн их хажуу гадаргуугийн талбайтай шулуун дугуй конус багтаав. Энэ конусын өндрийг ол.
A.$30$ B.$5$ C.$10$ D.$15$ E.$20$
Бодлогын төрөл:Сонгох
Амжилтын хувь:32.86%
Бодлогыг оруулсан: baysaa41@yahoo.com
Бодолт
Заавар:Бөмбөлөгийн төвөөс конусын суурь хүртэлх зайг $d$-г ашиглан бод.
Бодолт:Конусын суурийн радиусыг $x$ ба бөмбөлөгийн төвөөс конусын суурь хүртэлх зайг $d$ гэвэл $x^2=R^2-d^2$ болох ба конусын байгуулагчийн урт нь $$\ell^2=(R+d)^2+x^2=(R+d)^2+R^2-d^2=2R^2+2Rd$$ байна. Конусын дэлгээс нь $\ell$ радиустай тойргийн $2\pi x$ урттай нумд харгалзах сектор тул талбай нь $$S(d)=\pi\ell^2\cdot\dfrac{2\pi x}{2\pi\ell}=\pi\ell x=\pi\sqrt{(R^2-d^2)(2R^2+2Rd)}$$
байна. $S(d)$ нь $S^2(d)$ хамгийн их утгаа авах үед хамгийн их утгатай байна.
$$[S^2(d)]^\prime=\pi^2[(R^2-d^2)(2R^2+2Rd)]^\prime=$$
$$=\pi^2[-2d(2R^2+2Rd)+2R(R^2-d^2)]=$$
$$=2\pi^2R(R+d)(R-3d)=0\Rightarrow d=-R, d=\dfrac{R}{3}$$
байна. Эдгээрээс $d=\dfrac{R}{3}=\dfrac{15}{3}=5$ үед $S^2(d)$ хамгийн их утгаа авна. Энэ үед $$H=15+5=20$$ байна.