Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Бөмбөлөгийн төвөөс конусын суурь хүртэлх зайг $d$-г ашиглан бод.

Бодолт: Конусын суурийн радиусыг $x$ ба бөмбөлөгийн төвөөс конусын суурь хүртэлх зайг $d$ гэвэл $x^2=R^2-d^2$ болох ба конусын байгуулагчийн урт нь $$\ell^2=(R+d)^2+x^2=(R+d)^2+R^2-d^2=2R^2+2Rd$$ байна. Конусын дэлгээс нь $\ell$ радиустай тойргийн $2\pi x$ урттай нумд харгалзах сектор тул талбай нь $$S(d)=\pi\ell^2\cdot\dfrac{2\pi x}{2\pi\ell}=\pi\ell x=\pi\sqrt{(R^2-d^2)(2R^2+2Rd)}$$ байна. $S(d)$ нь $S^2(d)$ хамгийн их утгаа авах үед хамгийн их утгатай байна. $$[S^2(d)]^\prime=\pi^2[(R^2-d^2)(2R^2+2Rd)]^\prime=$$ $$=\pi^2[-2d(2R^2+2Rd)+2R(R^2-d^2)]=$$ $$=2\pi^2R(R+d)(R-3d)=0\Rightarrow d=-R, d=\dfrac{R}{3}$$ байна. Эдгээрээс $d=\dfrac{R}{3}=\dfrac{15}{3}=5$ үед $S^2(d)$ хамгийн их утгаа авна. Энэ үед $$H=15+5=20$$ байна.