Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}$ бол $$x^3+x^2y+xy^2+y^3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\sqrt{5}$$ (2 оноо)
$a=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}$ бол $a-\dfrac{1}{a}=\fbox{c}$ (2 оноо), $a^3-\dfrac{1}{a^3}=\fbox{d}$ (2 оноо), $a^5-\dfrac{1}{a^5}=\fbox{ef}$ (2 оноо) байна.

ab = 38

c = 1

d = 4

ef = 11

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 46.95%

Заавар:

$x+y=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{2\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2-1^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$, $x\cdot y=\dfrac{1}{\sqrt{5}-1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}+1}=\dfrac14$ болохыг ашиглан бод.
$a=\dfrac{2}{\sqrt{2}-1}$ бол $\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{2}+1}$ байна. Биномын томьёоноос $$a^n-a^{-n}=(a-a^{-1})^n+C_n^{n-2}(a^{n-2}-a^{2-n})-C_n^{n-4}(a^{n-4}-a^{4-n})+\cdots$$ байна.

Бодолт:

$$x^3+x^2y+xy^2+y^3=(x+y)^3-2xy(x+y)=$$ $$=\Big(\dfrac{\sqrt5}{2}\Big)^3-2\cdot\dfrac14\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{5\sqrt5}{8}-\dfrac{2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{3\sqrt{5}}{8}$$
$a-\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{\sqrt5-1}-\dfrac{2}{\sqrt5+1}=\dfrac{2(\sqrt5+1)-2(\sqrt5-1)}{(\sqrt{5})^2-1^2}=1$ байна. $$a^3-\dfrac{1}{a^3}=\Big(a-\dfrac{1}{a}\Big)^3+3\Big(a-\dfrac{1}{a}\Big)=1^3+3\cdot 1=4$$ $$a^5-\dfrac{1}{a^5}=\Big(a-\dfrac{1}{a}\Big)^5+5\Big(a^3-\dfrac{1}{a^3}\Big)-10\Big(a-\dfrac{1}{a}\Big)=$$ $$=1^5+5\cdot 4-10\cdot 1=11$$