Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тойрогт багтсан 4 өнцөгт
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AC=12$, $BC=BD=10$, $AD=3$ байв.
- $AB=\fbox{a}$ байна (3 оноо).
- $CD=\dfrac{\fbox{bc}}{4}$ байна (2 оноо).
- Багтаасан тойргийн радиус $\dfrac{\fbox{de}}{\fbox{f}}\sqrt{7}$ байна (3 оноо).
a = 8
bc = 45
def = 167
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 0.00%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Тойрогт багтсан 4 өнцөгт тул $\alpha=\angle ADB=\angle ACB$ байна. Косинусын теорем ашиглан энэ өнцгийн косинусыг ол.
Бодолт: Косинусын теоремоор
$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos\alpha$$
$$AB^2=AD^2+BD^2-2\cdot AD\cdot BD\cdot\cos\alpha$$
Эдгээрийг хасвал
$$0=12^2+10^2-2\cdot 12\cdot 10\cos\alpha-3^2-10^2+2\cdot 3\cdot 10\cos\alpha$$
тул $\cos\alpha=\dfrac{3}{4}$ байна. Иймд
$$AB^2=12^2+10^2-2\cdot 12\cdot 10\cdot\dfrac34=64$$
тул $AB=8$.
Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт тул $$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC\Leftrightarrow$$ $$12\cdot 10=8\cdot CD+3\cdot 10\Rightarrow CD=\dfrac{45}{4}$$ байна.
$\alpha<180^\circ$ тул $\sin\alpha=\sqrt{1-\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^2}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ байна. Синусын теоремоор багтаасан тойргийн радиус нь $$R=\dfrac{AB}{2\sin\alpha}=\dfrac{8}{2\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}}=\dfrac{16\sqrt{7}}{7}$$ байна.
Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгт тул $$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC\Leftrightarrow$$ $$12\cdot 10=8\cdot CD+3\cdot 10\Rightarrow CD=\dfrac{45}{4}$$ байна.
$\alpha<180^\circ$ тул $\sin\alpha=\sqrt{1-\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^2}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ байна. Синусын теоремоор багтаасан тойргийн радиус нь $$R=\dfrac{AB}{2\sin\alpha}=\dfrac{8}{2\cdot\frac{\sqrt{7}}{4}}=\dfrac{16\sqrt{7}}{7}$$ байна.