Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Уламжлалын тодорхойлолт
$f(x)$ нь дифферциалчлагдах функц бол $\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x^2f(x)-\alpha^2 f(\alpha)}{x-\alpha}=?$
A. $\alpha f^\prime(\alpha)$
B. $f^\prime(\alpha)$
C. $2\alpha f^\prime(\alpha)$
D. $2\alpha f(\alpha)-\alpha^2 f^\prime(\alpha)$
E. $2\alpha f(\alpha)+\alpha^2 f^\prime(\alpha)$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 33.33%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
тодорхойлолт ба үржвэрийн уламжлалын
$$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$$
томьёог ашигла.
Бодолт: $g(x)=x^2f(x)$ гэвэл
$$g^\prime(\alpha)=\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x^2f(x)-\alpha^2 f(\alpha)}{x-\alpha}$$
Нөгөө талаас үржвэрийн уламжлалын томьёогоор
$$g^\prime(x)=(x^2f(x))^\prime=2xf(x)+x^2f^\prime(x)$$
тул
$$g^\prime(\alpha)=2\alpha f(\alpha)+\alpha^2f^\prime(\alpha)$$
байна. Иймд
$$\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x^2f(x)-\alpha^2 f(\alpha)}{x-\alpha}=2\alpha f(\alpha)+\alpha^2f^\prime(\alpha)$$