Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ тодорхойлолт ба үржвэрийн уламжлалын $$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$$ томьёог ашигла.

Бодолт: $g(x)=x^2f(x)$ гэвэл $$g^\prime(\alpha)=\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{g(x)-g(\alpha)}{x-\alpha}=\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x^2f(x)-\alpha^2 f(\alpha)}{x-\alpha}$$ Нөгөө талаас үржвэрийн уламжлалын томьёогоор $$g^\prime(x)=(x^2f(x))^\prime=2xf(x)+x^2f^\prime(x)$$ тул $$g^\prime(\alpha)=2\alpha f(\alpha)+\alpha^2f^\prime(\alpha)$$ байна. Иймд $$\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{x^2f(x)-\alpha^2 f(\alpha)}{x-\alpha}=2\alpha f(\alpha)+\alpha^2f^\prime(\alpha)$$